Fusion and evolution of asymptotic analysis and geometric analysis in partial differential equations

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 15H02058
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Mathematical analysis
• Research Institution: The University of Tokyo (2017-2019); Tohoku University (2015-2016)
• Principal Investigator: Ishige Kazuhiro 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 川上 竜樹 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20546147) ; 石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458) ; 岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973) ; 小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107) ; 小池 茂昭 東北大学, 理学研究科, 教授 (90205295)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 漸近解析 / 形状解析 / 非線形問題 / 拡散方程式

Outline of Final Research Achievements

We developed the arguments in geometric analysis and asymptotic analysis, and studied power concavity properties of solutions and singular phenomena such as blow-up phenomena. Furthermore, we established a new method to study asymptotic analysis which is applicable to fractional heat equations. More precisely, we studied the following topics:
(1) Power concavity of solutions; (2) Solvability of nonlinear elliptic equations with dynamical boundary conditions; (3) Initial trace of solutions to nonlinear diffusion equations; (4) Blow-up set for systems of nonlinear heat equations; (5) Asymptotic analysis for the heat equation with a potential and its applications; (6) Higher order asymptotic analysis for fractional heat equations.

Free Research Field

偏微分方程式論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

偏微分方程式、特に楕円型方程式や放物型方程式の解の形状解析、漸近解析は解が記述する現象について基本的な情報を与える。本研究課題では、近年、研究の必要性が問われている動的境界条件や分数冪拡散方程式も対象にしながら、当該研究グループ独自の形状解析及び漸近解析の手法を確立し、様々な解の形状解析、漸近解析を行ってきた。また、それらを応用・発展させ、従来では為し得なかった非線形現象の解明や新しい現象の発見も行っており、それらの学術的価値は高いと考える。また、当該研究は、動的境界条件や分数冪拡散方程式の研究に対する社会的必要性もあり、数学に限らない関連研究分野の基礎的知見を与えるものと考える。