2018 Fiscal Year Annual Research Report
albebraic analysis and representation theory
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15H03608
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (60027381)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 表現論 / 量子群 / 箙ヘッケ環 / 不確定特異点ホロノミック系 / クラスター代数 / 圏化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
表現論は対称性を研究する数学の一分野である。古典的な群、リー環などをもちいた対称性の研究から、量子群、ヘッケ環、箙ヘッケ環等の新しい言葉を用いたそれまで扱えなかった対称性の研究へと、その研究の領域が拡大している。これらの表現論における新しい方向をさらに進めて、代数・幾何等を総合的に用いた研究を行った。
また不確定特異点型ホロノミック系に対するリーマン・ヒルベルト対応を帰納層の概念を用いることにより、定式化できる。この理論を深めるため、帰納層の超局所的性質を調べている。さらに具体的には次のような成果があがった。
１. 量子アフィン代数の表現論を、箙ヘッケ環を用いて調べることに成功した。その鍵は、R-行列で、それを用いて、箙ヘッケ環の表現のモノイダル圏から量子アフィン代数のあるクラスの表現のモノイダル圏への関手を構成することに成功した。
2. 量子座標環のクラスター代数構造を箙ヘッケ環をもちいて圏化することにより研究し、クラスター単項式が、大域基底となることを示した。また、これを1項の結果をもちいて、量子アフィン代数上のグロタンディック環のクラスタ単項式に対応する加群が、既約であることが証明できる。
3. 不確定特異点型ホロノミック系に対するリーマン・ヒルベルト対応で、対応する位相的圏の、一次元の場合にラプラス変換によりどう変化するかを解明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
量子座標環のクラスター代数構造を箙ヘッケ環をもちいて圏化することに成功し、クラスター単項式が大域基底となることが証明できたことは、大きな成果である。
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| Strategy for Future Research Activity |
1. クラスター代数を量子アフィン環上の加群圏をもちいたモノイダル圏化によって研究をおこなう。去年までは、箙ヘッケ環を介し間接的研究を行ったが直接的な研究を進める。
2. 不確定ホロノミー系については、超微分作用素の環を用いることにより、その超局所的構造が詳しく調べられているが、リーマン・ヒルベルト対応で対応する位相的対応物の超局所的性質は未だ解明されていないのでこれを研究する。
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