Uniformity of Zeta Functions

2020 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 15H03612
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: WENG Lin 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60304002)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 非可換ゼータ関数 / 格子とその安定性 / 既約群 / 翁ゼータ関数 / リーマン予想 / Eisenstein級数 / Ind-Pro 位相 / 数論的アデール コホモロジー

Outline of Final Research Achievements

First, we introduce and study zeta functions for number fields associated to reductive groups and their maximal parabolic subgroups and establish their the Riemann hypothesis for Chevelley groups. Then we develop a special zeta uniformity theory for rank n non-abelian zeta functions and SLn zeta functions for both number fields, and function fields (with D. Zagier). As a by-product, with my formal phD student, K. Sugahara, we develop a new number theoretic adelic cohomology theory for arithmetic varieties using ind-pro topology, and as an application, we establish a new type of reciprocity laws for arithmetic surfaces and show that the first arithmetic adelic cohomology group for arithmetic surfaces are indeed finite, which offer a new type of intrinsic invariants for these surfaces. Among others, one big volume on 'Zeta functions of reductive groups and their zeros' of mine is published by the World Scientific and two joint papers with Zagier are published by the leading journal PNAS.

Free Research Field

代数

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

既約群に付随するゼータ関数および非可換ゼータ関数の導入及び研究は数学の中で著しく影響を与えている。実際、クレイ数学研究所の7つのミレニアム懸賞問題の一つのリーマン予想はリーマンゼータ関数の零点に関する問題である。我々の研究はリーマンゼータ関数を大きなフレームワークの中に置いて、ファミリー中の一種として考える。そのため、古典リーマンゼータ関数の零点の分布が高い階数の非可換ゼータ関数の零点の分布と繋いで、新しい研究の道を開いたと同時に、数学の理論の豊かさと数学研究方法の多様化を提供した。社会的羊達に群がるところの流行的な浅薄数学と違って、数学の本質は何処にあるかという根本的な問題に挑んでいる。