2016 Fiscal Year Annual Research Report
Arithmetic of algebraic varieties with trivial canonical bundle
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15H03614
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| Research Institution | Hosei University |
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Principal Investigator |
桂 利行 法政大学, 理工学部, 教授 (40108444)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Enriques曲面 / 標数p / nodal curve / 有限自己同形群 / K3曲面 / Calabi-Yau多様体 / Lattice / vector field |
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| Outline of Annual Research Achievements |
金銅誠之、G. Martinと共同で、有限自己同形群をもつ標数2のEnriques曲面の分類を行った。Enriques曲面上の自己交点数-2の有理曲線をnodal curveという。複素数体上の有限自己同形をもつEnriques曲面は、nodal curvesのなすconfigurationによって７種類に分類されていた。Bombieri-Mumfordによる基本的な結果として、標数2の場合は、複素数体上の場合と大きく異なり, Enriques曲面はsingular, supersingular, classicalの３種類に分かれることが知られているが、有限自己同形を持つ場合は, nodal curvesのconfigurationが、singularなものは標数0の場合に出てくるI型, II型, VI型の３種類しか存在しないこと、supersingularなものはVII型のほかに新たに３種類存在する（合計4種類）こと、classicalな場合はVII型のほかに新たに7種類存在する(合計8種類）ことを示し、それら以外にはconfigurationが存在しないことを示した。また、それらが実際に存在することを示すEnriques曲面の例をvector fieldの商を考えることによりすべての場合に構成し、得られたEnriques曲面の有限自己同形群の構造もすべて決定した。これらの中にはこれまで知られていなかったようなcohomologically trivialな自己同形群をもつEnriques曲面も含まれている。Lattice theoryを始め、extremal rational elliptic surfaceの分類、extremal rational quasi-elliptic surfaceの分類、conductrixの分類などを用いて証明する。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
有限自己同形群をもつ標数2のEnriques曲面の分類をnodal curvesのconfigurationを用いて行ったが、singularなものが３種類, supersingularなものが５種類，classicalなものが8種類に分類でき、それらすべてが実際に存在することを示すことができた。また、それぞれの場合に、構成した例の有限自己同形群の構造をすべて決定した。Enriques曲面は、標数2の場合はとくに複雑であり、このような分類を完成させることが可能であるとは研究開始当初はまったく想像もできなかった結果である。現在、金銅誠之、G. Martinとの共著論文にまとめつつあるが、80ページを越える大きな論文になる見込みで、世界トップクラスの研究雑誌に投稿予定である。また、３月には、これまでの正標数の代数幾何学の研究に対し、2017年（第20回）日本数学会代数学賞を受賞した。このような理由で「当初の計画以上に進展している」とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
有限自己同形群をもつ標数2のEnriques曲面のnodal curvesのconfigurationによる分類とそれぞれの例の自己同形群の構造の決定は完成したが、各クラスのモジュライ数を決定することが残されている。モジュライ数がきまれば、有限自己同形群を持つEnriques surfaceの全体像が完全に明らかになるので、これを決定することが次の目標である。さらに、自己同形群が無限位数になる場合も含めて標準形を求め、moduliの構造を調べることも目標となる。quasi-elliptic fibrationの構造を持つ場合はQueenによってquasi-elliptic曲面の標準形が得られているので、これをEnriques曲面の場合に適用して標準形を探す計画である。VII型の場合にPetersen graphが出てくるように、自己同形群が無限になる場合もnodal curvesは興味のあるgraphを含む可能性があり、graph理論の観点からも興味深い。標数2のEnriques曲面のcoveringとしてk3-like coveringが得られるが、このcoveringの特異点の様子を始めとする曲面の構造も解析する必要がある。これらの研究を名古屋大学の金銅誠之およびMunchen大学のG. Martinと共同研究を進める。また、Zariski K3曲面についてもLeibniz University HannoverのM. Schuettと共同研究をすすめる。
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[Presentation] Zariski K3 surfaces2016
Author(s)
T. Katsura
Organizer
Research Seminar Algebraic and Arithmetic Geometry
Place of Presentation
Leibniz University Hannover, Hannover, Germany
Year and Date
2016-05-02
Invited
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