2017 Fiscal Year Annual Research Report
Arithmetic of algebraic varieties with trivial canonical bundle
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15H03614
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| Research Institution | Hosei University |
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Principal Investigator |
桂 利行 法政大学, 理工学部, 教授 (40108444)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数多様体 / K3曲面 / 超曲面 / Enriques曲面 / 正標数 / 単有理 / Lefschetz pencil / Zariski曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
pを素数とし、qをpのべきとする。標数pの３次元射影空間において、Fq上定義されたq+1次のある超曲面を考え、この超曲面上にあるFq上とその２次拡大上の有理点の数と直線の数を計算し、それを利用してLefschetz pencilの断面のなす群の構造を決定した。また、このpencilを利用してこの超曲面が非有理な単有理曲面になることの１つの証明を与えた。q = 3の時はこの超曲面はK3曲面になる。Enriques曲面については、標数0においては、自己同型群が有限になるEnriques曲面のnodal曲線のなすconfigurationはI型からVII型までの７種類に分かれることが金銅誠之名古屋大学教授により示されている。昨年度、金銅誠之、G. Martinとの共同研究で、標数２の有限自己同型群を持つEnriques曲面は、nodal曲線のconfigurationにより, singular Enriquesは３種類、classical Enriquesは８種類、supersingular Enriquesは５種類に分類されるという結果を得たが、本年度は、この結果の証明の細部を詰め、80ページ余の論文にまとめ上げて投稿した。classical, supersingularな場合は標数0には存在しない新しいconfigurationが現れる。K3曲面のZariski性については, Leibniz大学HannoverのSchuett教授との共同研究で, 標数が12を法として1でない場合は, Artin不変量が1, 2の時はK3曲面がZariski曲面になることを示した。標数が12を法として1である場合も, K３曲面がZariski曲面になるいくつかの例が構成できた。これらの結果もSchuettとの共著論文としてまとめ, 投稿した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
K3曲面, Enriques曲面など, 標準束が自明な代数曲面およびその周辺の多様体に対し, 金銅誠之,G. MartinやM. Schuettとの共同研究が進み, 共著と単著を合わせて4編の論文が作成でき（3編は査読中）, そのうち１編はすでに出版された。査読中のうちの１編は８０ページを越す大作であり、標数２の有限自己同型群を持つEnriques曲面がここまで分類できるとは研究を始めた当初は予想さえしていなかった。また、80万円を繰り越したが, それを用いて翌年に行った国際会議に予定通りG. van der GeerとI.Dolagchevを招聘することができ, Calabi-Yau多様体やEnriques曲面に関する詳細な討論ができた。特にEnriques曲面の自己同型群については、Dolgachevとの討論によって、Crystalline cohomologicallyに自明な群の構造に関する重要な知見が得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
標数２の自己同型が有限なEnriques曲面のnodal curveのconfigurationによる分類はできたが、その各類のモジュライ数の決定が未解決である。したがって、標数２のEnriques曲面の有限自己同型群が得られた有限自己同型群でつきているかどうかもこれからの課題であり、解明していきたい。Enriques曲面は全て種数１のファイバー空間の構造を持つが、その標準形を求めてファイバー空間の一般論も作りたい。この理論が、モジュライ数決定に応用できるのではないかと考えている。K3のZariski性については特殊な場合にはsupersingular K3がZariski曲面になることを示せたが、supersingular K3はすべてZariski曲面ではないかと予想しており、新しい事例を増やすことにより、解決に向けた考察を行いたい。実際、標数2ではsupersingular K3がZariski曲面であることはRudakov-Shafarevichにより示されており、もう少し弱くsupersingular K3曲面が単有理曲面であること（Artin-Shioda予想）はLiedtkeにより示されている。決められた有限群を自己同型群が含むようなアーベル曲面の構造の解析はその商空間としてのK3曲面を調べる上で興味深い。アーベル曲面の商空間として得られるK3曲面は扱いやすく、我々がZariski性を調べるために扱ったsupersingular K3曲面はすべてこのような形のものである。K3のZariski性を研究するためにも、このような視点からの研究も行っていきたいと考えている。
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