2016 Fiscal Year Annual Research Report
シンプレクティック微分リー代数の構造とモジュライ空間の特性類
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15H03618
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 茂之 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (70011674)
鈴木 正明 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (70431616)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 幾何学 / トポロジー / モジュライ空間 / 特性類 / シンプレクティック微分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究組織のメンバー３人の相互協力の形で，以下の内容について研究を行った．
１．自由リー代数のシンプレクティック微分リー代数の非自明なアーベル商の具体的構成を行った．この計算結果は階数７の自由群の外部自己同型群の１１次元有理ホモロジー群がランク１であるという結果の別証明となっているが，我々の議論は，非安定領域におけるリー代数のアーベル商の非自明性も示すことができており，新たな知見を与えるものとなっている．
２．曲面の写像類群と密接に関連したリー代数として，ジョンソン準同型から得られるものと，トレリ群の降中心列から得られるものがあるが，その２種のリー代数の構造の違いを調べるための一般的方法を定式化し，その具体的な計算に取り掛かった．この計算結果は写像類群と３次元多様体の不変量の関係をより明確にするものであり，次年度以降に集中的に調べていく予定である．
これらに加えて，以下の研究を行った．
３．Gwenael Massuyeau 氏との共同研究により，１で構成したアーベル商とこれまでに得られたトレース準同型の理論と組み合わせることで，一般の種数の曲面のホモロジー同境群の有理アーベル化が非自明であることを証明した．この結果は曲面のホモロジー同境に対する新たな種の不変量を構成するものとなっている．
４．自由結合代数の微分リー代数の二面体群不変部分のなす部分リー代数のホモロジー群を調べた．とくに２次のホモロジー群の非自明性を証明することができ，その幾何学的意味を探ることが今後の課題となった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
自由リー代数のシンプレクティック微分リー代数の非自明なアーベル商の具体的な構成を通じ，曲面のホモロジー同境群の有理アーベル化の非自明性の証明と曲面のホモロジー同境に対する新たな種の不変量の構成ができたことは大きな進展であった．加えて，写像類群に付随する２種のリー代数の違いを調べるための道具を準備することができ，今後の研究に新たな意味を加えるものとなった．一方で，階数８の自由群の外部自己同型群のコホモロジーの計算については，実行可能な計算アルゴリズムの構成に手間取っており，遅れが生じている．
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| Strategy for Future Research Activity |
自由リー代数のシンプレクティック微分リー代数の非自明なアーベル商については，具体的な記述を与えることができたものの，その幾何学的意味や一般化の可能性については不明な点が多く，それらを明らかにすることが喫緊の課題となっている．また，写像類群や自由群の外部自己同型群のコホモロジー環の構造について，昨年度に，対応するモジュラー群との関係を基にして特性類の統一的構成の定式化を行ったが，それを完成させるためにはモジュラー群のコホモロジーとの関係をより精密に調べることが必要であることが判明した．今後はこれらの課題の解決に取り組んでいくとともに，写像類群に付随するリー代数の構造に関する研究など，新たに調べていくことになった内容についても取り組んでいく．
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| Remarks |
Homepage of Takuya SAKASAI
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~sakasai/
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