Structures of symplectic derivation Lie algebras and characteristic classes of moduli spaces

2018 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 15H03618
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Research Field: Geometry
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Sakasai Takuya 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 森田 茂之 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (70011674) ; 鈴木 正明 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (70431616)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: トポロジー / モジュライ空間 / グラフホモロジー / Johnson 準同型 / シンプレクティック微分

Outline of Final Research Achievements

As joint works of the members of our research team, we obtained the following results concerning the cohomology groups of moduli spaces of Riemann surfaces and graphs:

(1) We gave another proof of Bartholdi's result on the 11th rational homology group of the moduli space of graphs of rank 7. (2) We determined the structure of the Lie algebra of Johnson images up to degree 7. (3) We compared certain two filtrations of the Torelli group up to degree 6. This result provides a new insight on the finite type invariants of homology 3-spheres. Also, we determined the rational abelianization of the Johnson kernel. (4) In a joint work with Gwenael Massuyeau, we proved that the rational abelianization of the homology cobordism group of surfaces is non-trivial.

Free Research Field

トポロジー

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

リーマン面のモジュライ空間は１００年以上の研究の歴史を持つ数学的対象であり，この空間の構造を調べることが新たな数学を生み出す原動力となってきた．グラフのモジュライ空間もまた，類似の空間としてその重要性が注目されている．それらの空間の不変量である特性類を見つけることは，それらを測るための新たな「尺度」を作ることであり，その応用は数学にとどまらず数理物理など広範囲にわたると期待される．本研究では，いくつかの特性類の直接計算や，種々の特性類の関係性を統一的に記述するための方法を与えた．それらの応用として，３次元多様体の新たな不変量の構成や，既存の不変量に関する新たな知見を得た．