2016 Fiscal Year Annual Research Report
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15H03624
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
重川 一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (00127234)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
矢野 孝次 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80467646)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 確率解析 / マルコフ半群 / エルゴード性 / スペクトル / 対数ソボレフ不等式 / スペクトルギャップ / マルコフ過程 / Dirichlet 形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Wiener 空間上の非対称な拡散過程について研究した。Malliavin 解析で重要な Ornstein-Uhlenbeck 作用素に、1次の摂動 b を加えた拡散過程を考察した。b に対しては指数可積分性を仮定し、対数 Sobolev 不等式と組み合わせて、拡散過程の存在を示した。また L p の枠組みで、生成作用素の定義域も決定した。これにより、部分集合の稠密性についても判定することができる。これらの結果は論文としてまとめ、Mathematical Journal of Okayama University に投稿し、すでに印刷準備中である。
また拡散過程から定まる半群の長時間挙動は、エルゴード性を中心に重要な話題である。特に定常状態への指数関数的な収束の速さを研究してきた。L 2 におけるスペクトルギャップはその典型的な指標である。対数 Sobolev 不等式はスペクトルギャップよりも強い性質で、L p での収束まで導く。さらにZygmund 空間の L log L 型空間においてもスペクトルギャップが存在することは既に成果として得ていたが、具体例として Kummer 過程の場合に、L (log L) β 型の Orlicz 空間におけるスペクトルを完全に計算した。この場合は β によってスペクトルが変化することが分かった。L p (p>1) の場合は、対数 Sobolev 不等式の条件の下ではスペクトルは変わらないので、大きな違いである。さらに β<1 の場合は、スペクトルギャップ自体が β が 0 に近づいていくと、0に近づいていくことも成立していることが分かった。Orlicz 空間の構造がスペクトルに顕著に反映されることが現象として見出されたことになる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Pearson-Kolmogorov 拡散過程のスペクトルの解明が進んでいる。Feller の標準測度と尺度関数による超対称性と、Stein の超対称性など、各種の対称性と、Doob の h-変換が関連していることも分かり、全体の見通しがよくなってきている。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き Pearson-Kolmogorov 拡散過程の研究を進める。スペクトルの決定が中心課題になる。拡散係数が2次の場合が残っているので、次の段階としてその解明まで進めていく。特殊関数が有効であることが分かってきているので、引き続きそれらを利用していく。
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