2016 Fiscal Year Annual Research Report
ディリクレ形式が定める局所構造に基づく確率論および幾何学の展開
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15H03625
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
日野 正訓 京都大学, 理学研究科, 教授 (40303888)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
会田 茂樹 東北大学, 理学研究科, 教授 (90222455)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 確率論 / ディリクレ形式 / 局所構造 / 幾何構造 / 確率過程 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者および研究分担者が主体となった研究に関して，本年度は以下の成果を得た．
日野は，確率論，解析学および幾何学に関わる課題に重点を置いて研究した．特に，一般の状態空間における強局所ディリクレ形式に低階項の摂動を加えた2次形式に付随する半群の短時間漸近評価について研究し，半群が積分型ヴァラダン評価を持つための十分条件を与えた．これにより，ある範疇の非対称な2次形式に関しても，ヴァラダン評価を経由して底空間に一種の距離構造が導入できることが明らかとなった．証明のために必要になった，半群がLp空間上で強連続半群となるための十分条件に関する新しい結果も得られた．また，ランダム単体複体のパーシステントホモロジーに関して，ホモロジーの生成元の生存時間和に関する研究を行い，従前の結果を一部改良した（継続して研究中）．
桑江は，ディリクレ形式と幾何解析に関わる課題に重点を置いて研究した．特に，ファインマン・カッツ半群のスペクトル半径のLp-独立性について一般的な結果を得た．そのために必要なマルコフ過程の既約分解に関する結果も得られた．
会田は，ラフパス理論に関わる課題に重点を置いて研究した．特に，反射壁確率微分方程式を含むようなラフパスで駆動される経路依存の微分方程式を定式化し，解の存在および評価を示した．
得られた研究成果については，国内外の学会等で口頭発表を行い，さらに学術誌へ論文を投稿済みまたは投稿準備中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画に則った研究活動を行い，幾つかの課題について新たな知見が得られた．日野による非対称形式に付随する半群の短時間挙動の研究については，予想していたよりも単純でない問題であることが明らかとなったが，当初は想定していなかったLp-解析をも交えた議論を行うことで，現状ではほぼ最善に近い結果が得られた．桑江によるディリクレ形式の基礎理論に関する研究は，今後様々な応用も見込まれ，本研究課題を推進するにあたり有用な結果が得られたと考えられる．会田による研究は，ラフパス理論の研究において基本的な問題に新たな進展をもたらした意義のある成果であると考えられる．
これらの成果については国内外の招待講演等で発表を行い，研究成果はよく周知されたといえる．
また，日野は商業雑誌に本研究課題に関連した論説を寄稿した．
以上のように，本研究課題について，おおむね順調に研究が進展しているものと判断される．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究集会などを通じて研究分担者・連携研究者が直接議論する機会を積極的に持つことにより，研究連絡を密に行うことを意識しながら研究を進めるものとする．諸外国での研究動向にも注意し，当初想定しなかった展開があれば，本研究の方向性について柔軟な対応をとることで，研究遂行に支障をきたさないよう引き続き努める．
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Research Products
(11 results)
