2017 Fiscal Year Annual Research Report
ディリクレ形式が定める局所構造に基づく確率論および幾何学の展開
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15H03625
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
日野 正訓 京都大学, 理学研究科, 教授 (40303888)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
会田 茂樹 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90222455)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 確率論 / ディリクレ形式 / 確率過程 / 幾何構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者および研究分担者が主体となった研究に関して，本年度は以下の研究を行った．
研究代表者の日野は，ランダム単体複体の増大族の幾何構造に関して金澤秀氏（東北大学）と共同研究を行い，パーシステントホモロジーの生成元の生存時間和の漸近挙動について，クリーク複体過程を含む広い範疇のモデルで増大のオーダーを決定した．これは従前の結果を大きく改良したものである．論文を執筆し，現在投稿中である．また，フラクタル上の確率微分方程式に関する最近の研究を精査し本研究課題での問題設定に利用できないか検討を行った．まだ明確な形での進展は得られていないため，新年度における課題として引継ぐものとする．さらに，以前執筆した和文論説の英訳版が論説誌"Sugaku Expositions"に掲載された．
研究分担者の桑江はXiangdong Li教授（中国科学院）との共同研究で，重み付きリーマン多様体に付随するm-Bakry-Emeryリッチテンソルのm<1の場合でのラプラシアンの比較定理と，それにともなう種々の幾何学的性質を得た．また，Zhen-Qing Chen教授（ワシントン大学）と金大弘教授（熊本大学）との共同研究では，ファインマン・カッツ半群のスペクトル半径のL^p-独立性について，全測度有限の条件を外して超縮小性の条件だけで成立することを示した．
研究分担者の会田は，反射壁の項と最大値過程のドリフト項が含まれる1次元確率微分方程式の多次元版を考察し，サポート定理を証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画に則った研究活動を行い，新たな知見を得ることができた．日野によるランダム単体複体の研究については，当初想定していたものとはやや異なる方向ではあるが，確率論と幾何学に関する新たな研究領域における成果であり，今後更に発展が期待できるものである．桑江によるディリクレ形式を用いた幾何学との関連領域における成果は，今後様々な応用が期待される．会田による研究は，フラクタル上のラフパス解析のような将来的な課題とも関連し得る基礎研究であると評価される．
これらの成果については，国内外の招待講演等で発表を行い，研究成果は良く周知されたと考えられる．
また，日野は商業雑誌に本研究課題に関連した論説を寄稿した．
以上のように，本研究課題は概ね順調に進展しているものと判断される．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題の最終年度でもあり，研究分担者同士の連絡を密に取りながら成果を挙げるよう，引き続き留意して研究を推進していくものとする．研究の方向性については，当該分野の研究動向にも注意し，柔軟な対応をはかっていくものとする．
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Research Products
(10 results)
