2018 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
15H03637
|
|---|
| Research Institution | Kyushu University |
|---|
Principal Investigator |
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 非線形微分方程式 / 関数方程式 / 有限要素法 / Navier-Stokes方程式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究で得た知見である，一般的な関数空間における無限次元線形作用素の可逆性の検証と逆作用素の精度保証付きノルム評価方法の拡張・改良に取り組みました．昨年度までの連携研究者・海外共同研究者・研究協力者との緊密な意見交換の成果として，2階楕円型線形作用素に対する可逆性と逆作用素ノルムの上界を精度保証付き数値計算で検証する理論・実装方法のさらなる改善が可能であること，およびこの枠組みは，一般Hilbert空間における線形作用素にも拡張可能であるとの見通しを得ていました．当該年度は応用問題から導かれる具体的な無限次元関数空間の作用素に対する精度保証付き数値計算を通しこれら検証理論の有効性を確認するとともに，アルゴリズムレベルおよびプログラムレベルにおいて効率化を行いました．また，共役空間への作用素に対する拡張にも成功しました．さらに，得られた技術を基盤とする非線形偏微分方程式の解の存在と局所一意性を計算機内で自動的に検証する数値的手法を具体的な方程式に対し適用を試みました．また，昨年度に引き続き流体力学の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に対する精度保証付き数値計算に取り組み，2次元Navier-Stokesの流れ関数近似から導かれる非線形4階微分方程式に対する解の誤差評価付き存在検証と，存在検証に成功した定常解での線形化作用素に対する非自己共役固有値問題の複素平面における大域構造を解明することにより，流れの安定性を解析するための理論的枠組みを構築しました．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究成果の概要にある通り，無限次元線形作用素の可逆性検証理論の深化と応用を踏まえ，Navier-Stokes方程式に対する解の存在検証と解の安定性解析に関する定式化を進めることができました．また，研究を推進する過程で，非線形問題の解の検証のためには，対応する線形問題の近似解に対する定量的誤差評価が鍵となるとの知見を得ることができました．有限要素基底を用いた誤差評価にはこれまで事前および事後誤差評価が各種提案されています．これらの特長を取り込みながら，これまでの事後誤差評価に比べて低コストでこれまでの事前誤差評価より高精度となる誤差評価手法を提案できるとの見通しを得ることができました．以上の理由により，研究はおおむね順調に進展していると考えます．
|
| Strategy for Future Research Activity |
1. これまでの研究で得た知見である，一般的な関数空間における無限次元線形作用素の可逆性の検証と逆作用素の精度保証付きノルム評価方法の拡張・改良に取り組みます.今後は引き続き，応用問題から導かれる具体的な無限次元関数空間の作用素に対する精度保証付き数値計算を通してこれら検証理論の有効性を確認するとともに，一般のHilbert空間における線形作用素への拡張を検討します.
2. 非線形問題の解の検証のためには，対応する線形問題の近似解に対する定量的誤差評価が鍵となります.有限要素基底を用いた誤差評価にはこれまで事前および事後誤差評価が各種提案されています．これまでの研究によりこれらの各種評価の特長を取り込みながら，高次要素に対する構成的事前誤差評価理論を構築する見通しが立ちました.今後は手法の確立とともに，反応拡散方程式系から導かれる具体的な問題に対する比較を通して，提案手法がこれまでの事前・事後誤差評価に比べて低コストかつ高精度となることを確認します.
3. 1. で得られた技術を基盤とする非線形偏微分方程式の解の存在と局所一意性を計算機内で自動的に検証する数値的手法を具体的な方程式に対し適用します.また，引き続き流体力学の基礎方程式であるNavier-Stokes方程式に対する精度保証付き数値計算に取り組みます.具体的には，2次元Navier-Stokesの流れ関数近似から導かれる非線形4階微分方程式に対する解の誤差評価付き存在検証と，存在検証に成功した定常解の解の性質を計算機援用証明により解析します.さらに，具体的な検証アルゴリズム構築の過程で得られた知見を 1. および 2.にフィードバックすることにより，計算機援用証明理論を進化させます.
|
Research Products
(13 results)
