2018 Fiscal Year Annual Research Report
Renovating solutions and applications of coefficient inverse problems for partial differential equations
| Project/Area Number |
15H05740
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 玄 北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50118535)
羽田野 祐子 筑波大学, システム情報系, 教授 (60323276)
磯崎 洋 立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-05-29 – 2020-03-31
|
| Keywords | 係数決定逆問題 / 非整数階偏微分方程式 / 非ニュートン流体 / 一意性・安定性 / リーマン計量決定 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画であげた主要課題ごとに述べる。
（Ａ） 楕円型方程式の係数決定逆問題：一意性に関してはおおむね完成した。安定性については論文が出版待ちである。（Ｂ）リーマン多様体におけるリーマン計量決定逆問題：完成にむけて海外の共同研究者と作業を進めており、2019年度に完成を目指す。（Ｃ） 流体力学におけるさまざまな非定常方程式の係数決定逆問題：主に非圧縮性粘性流体の場合に考察を進めた。国内外での国際研究集会で成果を発表し、電磁流体や結晶流などのさまざまな場合に逆問題を研究し、論文としてまとめつつある。物理現象の多様性から、支配方程式も多岐にわたるので、対象となる非定常方程式に関するサーベイも行い、次年度の課題遂行と完成のための準備を行った。（Ｄ）非整数階偏微分方程式の係数決定逆問題：まず逆問題の基礎となる非整数階偏微分方程式論自身が完備されていない状況が明らかになったので、その完成のための研究を共同研究者と進め、今年度に出版の準備を整え、2019年度前半に出版の予定である。そのような基礎理論の整備と並行して、非整数階偏微分方程式に対する逆問題の数学解析も進めた。
（Ｅ） 諸科学技術分野からの逆問題の課題提起と応用：本研究計画の枠組みで産業界、異分野からの課題解決のためのスタディグループと連携して、前年度に引き続き製鉄、自動車業界からの逆問題に関連した課題の提示を受けて解決にむけて議論、共同研究を行った。さらに、空間線量率推定のための数学解析と数値手法の開発を行った。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
以下、課題ごとに述べる。課題（Ａ）楕円型方程式の係数決定逆問題に関する成果：2次元の場合に、シュレディンガー方程式に限定されない一般の2階楕円型方程式などに関して、本研究の枠組みで得られ公表された成果は、既に最上の一意性の結果と国際的に認められている。分担者を含む課題（Ａ）に関する成果も国際的に高い評価を得ており、医学診断の研究者との議論により、応用面からの見地も取り込まれている。課題（Ｂ）リーマン多様体におけるリーマン計量決定逆問題：他課題に比べるときわめて挑戦的なものであり、得られた成果はまだ少ないが、最終年度に深みのある数学解析を完成させる。課題（Ｃ）流体力学におけるさまざまな非定常方程式の係数決定逆問題：Carleman 評価による係数決定逆問題の数学解析において国際的な研究動向をリードする成果を当初の計画以上に挙げている。
課題（Ｄ） 非整数階偏微分方程式の係数決定逆問題：当初の計画の想定を超えて、逆問題とともに順問題双方に関する古典的な偏微分方程式も包含するような大きな理論体系を構築している。(E) 諸科学技術分野からの逆問題の課題提起と応用：逆問題に関連して、「異分野、産業界からの課題提起－数学的な枠組みへの落し込み－数学手法の創出－実問題への応用－応用面の知見からの数学手法の修正」、というサイクルの活動を組織し、異分野・産業界からも評価されており、若手研究者の育成にも役立っている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
主要な４課題について、難易度などの要因で、それぞれ達成・進捗状況が異なるので本研究の最終年度において全体の遂行について調整を以下のように図る。課題（Ａ）境界値逆問題：単独の楕円型方程式に関しては所期の成果を得たが、未完了の一般次元の場合の弾性方程式などについての一意性を確立する。課題（Ｂ）リーマン計量決定逆問題：輸送方程式に基づく方法論は強力なものであるので、この手法の追及・深化を図る。この課題の進捗が遅れているので、海外の研究協力者や共同研究者との連携を強化し、短期期間の招へいによって集中的に解決に取り組む。
課題（Ｃ）非ニュートン流体の係数決定逆問題：流体のさまざまな方程式に対して、本研究で確立された成果を基礎にカーレマン評価式を完成させ、係数決定逆問題に適用して一意性・安定性を確立していく。本課題（Ｃ）における方法論は、熱弾性、粘弾性などの数理物理学に現れる種々の方程式の逆問題にも適用可能であることが、本研究の進展によってわかってきたので、そのような粘弾性方程式などの逆問題の数学解析にも対象を拡大する。手法はほぼできあがっているので、ポスドクなどと共に速やかな出版につなげていく。数学解析のために本基盤研究で開拓、発展させた方法論についての専門書を執筆中で、迅速な出版を目指す。課題（Ｄ）非整数階偏微分方程式の順問題と逆問題の包括的な研究：非整数階偏微分方程式の逆問題の解決のために、初期値・境界値問題の基礎研究が急務であり、これまでの成果を発展させて単行本を出版する。
|
Research Products
(18 results)
