2016 Fiscal Year Annual Research Report

Holomorphic curves and complex Monge-Ampere equation

Research Project

Project/Area Number	15H06129
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	千葉優作東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任助教 (90635616)
Project Period (FY)	2015-08-28 – 2017-03-31
Keywords	複素モンジュ・アンペール方程式
Outline of Annual Research Achievements	複素モンジュ・アンペール方程式と正則曲線の関係を研究した。結果として、高次元の複素平面から、同じ次元のコンパクトなケーラー多様体への正則写像の像の補集合が多重劣調和関数の極に含まれるための条件を与えることができた。既存の研究ではこのような正則写像の像がコンパクトケーラー多様体内で稠密になるような条件や、その補集合が、ハウスドルフ次元が小さくなるといった条件が研究されていた。特にハウスドルフ次元についてはコンパクトケーラー多様体が複素射影空間の場合など特別な場合にしか調べられていなかった。本研究では任意のコンパクトケーラー多様体上で、これらの研究よりも強い結果を、正則写像の特性関数にいくつかの条件を付けることで得ることができた。特性関数につけた条件が多くなってしまったが、コンパクトケーラー多様体が二次元の場合はこれらの条件が簡単になり、実際に調べることのできる実用的なものといえる。またこのような条件を取り外すことが可能かどうかを調べる研究も今後は期待できる。さらに研究方法として、ポテンシャルが有界な場合の複素モンジュ・アンペール方程式を使っており、その点も本研究の新しい点である。解が滑らかでない複素モンジュ・アンペール方程式を使い、ポテンシャル論を使って正則写像を調べるという目的は達成できたといえる。高次元の複素平面内の一次元複素平面に正則写像を限定することで、正則曲線の性質を調べることに役立たせることができると期待できる。
Research Progress Status	28年度が最終年度であるため、記入しない。
Strategy for Future Research Activity	28年度が最終年度であるため、記入しない。