ミラー対称性による齋藤構造における実，整構造の研究

2015 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15J02913
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 白石 勇貴 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
• Project Period (FY): 2015-04-24 – 2018-03-31
• Keywords: 一般化ルート系 / 計量なし齋藤構造

Outline of Annual Research Achievements

これまでに，高橋篤史氏と和田健太郎氏との共同研究において，良い代数的な三角圏から，一般化ルート系が構成されることを示していた．この場合，格子はグロタンディーク群，カルタン形式は対称化されたEuler形式，実ルートの集合は例外対象の集合，コクセター元はセール函手から誘導される自己同型写像となる．
本研究では，一般化ルート系において，Euler形式に対応する双線型形式がそもそも存在するのではないか？という自然な問題に対し，格子上の双線型形式で，(a)対称化がカルタン形式となり，(b)コクセター元により，セール双対を満たすものが一意的に存在するという答えを与えた．また，一般化ルート系の間の射を，カルタン形式に対して等長的で，実ルートの集合の間の射を定め，コクセター元と両立する線型写像として定義した．この定義のもと，カルタン形式が正定値となる一般化ルート系の同型類が，R.W.Carterの許容的図形と対応することを示した．以上の結果を論文としてまとめた．(高橋篤史氏・中村俊輔氏との共同研究)

実鏡映群の場合には，齋藤恭司氏によるフロベニウス構造の研究がある．一方で，最近，加藤氏・関口氏・真野氏により，良生成(生成元が階数個または階数個より一つ多い)な複素鏡映群の不変式論に対して，Sabbahの意味での計量なし齋藤構造が構成されることが示された．
本研究では，良生成でない場合においても，計量なし齋藤構造を構成できるか？という自然な問題に答を与えた．具体的に，小西氏により，その不変式論に対して，計量なし齋藤構造が入らないものが同定された．残りの例では，良生成な複素鏡映群に対する不変式論に対する被覆になっており，分岐因子を除いて計量なし齋藤構造が入ることが分かった．(小西由紀子氏・三鍋聡司氏との共同研究)

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

拡大カスピダル・ワイル群の不変式論に対するフロベニウス構造の構成が完成していないものの，構成のために特に重要な性質(P)予想に対して，本年度の研究を通して有用な知見を得たため．

Strategy for Future Research Activity

小西氏・三鍋氏との共同研究で得た知見をもとに，拡大カスピダル・ワイル群の不変式論に対するフロベニウス構造の構成問題の解決を図る．次年度課題については，Shklyarov氏による行列因子の圏と高次留数形式についての結果などを踏まえて予定通り行う．