2015 Fiscal Year Annual Research Report
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15J03091
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
河本 陽介 九州大学, 数理学府, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | 無限次元確率微分方程式 / ランダム行列 / Dirichlet形式 / 点過程 / Dyson Brown運動 / 無限粒子系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
無限次元干渉Brown運動とは、無限個の微粒子が互いに相互作用しながら運動するモデルであり、統計物理の重要なモデルとして研究されてきた。無限次元干渉Brown運動は無限次元確率微分方程式として定式化される。この無限次元確率微分方程式の諸性質を調べることが当研究の目的である。とりわけ、Dyson Brown運動を始めとした、ランダム行列に関係する無限次元確率微分方程式を主な対象とする。
研究の主目的は、様々なレベルでの無限次元確率微分方程式の有限粒子系近似を証明することである。詳細を以下に述べる。有限個の粒子の運動を記述する有限次元確率微分方程式を考える。この有限粒子系の力学において、粒子系を無限大に飛ばす極限を取ると、対応する無限粒子系を記述する無限次元確率微分方程式にある意味で収束すると考えられる。これが有限粒子系近似である。
当該年度は、この有限粒子系近似の一般論の構築を行った。つまり、有限次元確率微分方程式の解析的条件の下、有限次元確率微分方程式の解が粒子数無限大の極限で無限次元確率微分方程式の解に分布収束することを示した。さらに、この一般論を用いて、Dyson Brown運動の有限粒子系近似を示した。また、いくつかの国際研究集会で講演を行い、これらの成果を周知することができた。
加えて、無限次元確率微分方程式が、その時間発展で粒子の密度を変えないという密度保存性を証明した。この結果は論文として投稿し、すでに受諾された。このような大域的な性質を調べることは、無限次元確率微分方程式の解の一意性に関係するなど、無限粒子系の解析をする上で重要な研究であり、この方向性の研究は今後も発展の余地が十分あると思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は無限次元確率微分方程式の有限粒子系近似の一般論とその具体例の計算、及び無限粒子系の密度保存性について研究を行った。詳細は以下の通りである。
有限個の粒子の運動として、有限次元確率微分方程式を考える。有限次元確率微分方程式に関するある解析的条件の仮定の下、この有限粒子系の力学において粒子数を無限大に飛ばす極限を取る。この時、有限次元確率微分方程式の解は、対応する無限粒子系を記述する無限次元確率微分方程式の解に分布収束することを示した。これが有限粒子系近似の一般論である。この一般論は、ランダム行列に関係する確率微分方程式にも適用可能である。実際、直交多項式の計算を行うことにより一般論の仮定である解析的条件を確かめて、Dyson Brown運動の有限粒子系近似を示した。この有限近似においては、有限系と無限系で確率微分方程式の形が違うという興味深い結果が得られる。この一連の結果については、国際研究集会等で成果発表を行った。
また、有限粒子系近似が成立するためには、極限である無限次元確率微分方程式の解の一意性が必要である。一意性を言うには、無限粒子系がその時間発展において末尾事象から脱出しないことを示す必要がある。一般の末尾事象に対して非脱出をいうのは非常に困難であるが、今年度はその第一歩として、無限粒子系がその時間発展で粒子の密度を変えないという密度保存性を証明した。この帰結として、ある種類の無限次元確率微分方程式の解の一意性を示すことができる。この結果は論文としてまとめて投稿し、掲載の受諾を得た。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の方針として、2つの方向性が挙げられる。（1）ランダム行列の普遍性に対する力学的普遍性と、（2）末尾事象保存性についてである。
（1）ランダム行列理論の中心的な問題として、固有値分布の普遍性がある。これは、ランダム行列のサイズを大きくしたとき、その固有値分布の漸近挙動は、行列の成分である確率変数の詳細に依らないということである。また、固有値分布のある意味での一般化として、大規模系の対数ガスの局所的な分布は、自由ポテンシャルに依らないということが知られている。このように、点過程が粒子数無限大の極限で普遍性を持つことが最近の研究により確立してきた。そこで、これらの力学版を考えたい。つまり、上記した有限粒子系の点過程に付随する有限次元確率微分方程式の解は、粒子数無限大の極限では普遍的な無限次元確率微分方程式の解に収束すると期待される。このことを有限粒子系の一般論を用い証明する。
（2）無限次元確率微分方程式の解の一意性には、無限粒子系の末尾事象保存性が重要な仮定であることはすでに述べた。これまでの研究で、末尾事象保存性の特別な場合である密度保存性を示すことにより、ある種類の無限次元確率微分方程式の解の一意性を証明することはできている。これをさらに推し進め、より一般の無限次元確率微分方程式の解の一意性を証明する。
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Research Products
(3 results)
