2015 Fiscal Year Annual Research Report
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15J07641
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
吉田 純 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | 圏化 / ホモトピー論 / 幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
種々の不変量を圏論的な言葉で記述する圏化と呼ばれる操作について、幾何学的な解釈を与える上で、どのような幾何学のモデルと相性が良いか調べることが本年度の目標であった。これについて、論理学的な見地も交えていくつかのモデルを考察した。特に代数理論と呼ばれる、環やモノイド、加群などの代数構造を圏論的に記述する概念に着目した。これらのホモトピー版を考えることは重要な問題であるが、代数理論が区間と呼ばれる構造を持つ場合について、ホモトピー化ができることを示した。正確には、Lawvere による代数理論の定式化について、型理論と呼ばれる形式体系を弱めたものに一般化されたものを用いた。この意味での代数理論から生成される圏について、区間構造を用いると、その上の前層の圏は、通常のホモトピー論と Quillen の意味で同値な幾何学のモデルとして扱えることを示した。このような代数理論の例としては、半束や束がある。これらは、ホモトピー型理論のようなホモトピー論理で重要であるばかりでなく、ホモトピー論における立方体による基礎付けを与えている。単体的集合によるホモトピー論に比べ、積が自然に定義されているので、代数構造中に現われるホモトピー的構造に対してより自然に作用していると期待できる。
また、圏に対する幾何学的解釈を与えることについて、圏のグラフィカルな計算手法について研究した。これは、圏の計算として古くから知られていた手法だが、形式的な基礎付けが Joyal と Street によってなされている。この基礎付けを場の理論的な文脈でとらえなおすために、埋め込まれた図形を考慮した多様体の分解の計算手法を開発し、双対性を持つ代数構造が現われることを示した。これには、表現論や低次元トポロジーに現われる構造を含まれており、それらの圏化について幾何学的解釈を与えられる可能性がある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
目標としていたモデルについての結果は、満足のいくものが得られた。代数理論は多くの場所で現われる対象であり、それを用いてとしてモデルを構成する手法が得られたことは、汎用性が高いと思われる。さらに、圏論的構造についての幾何的解釈を与えうるグラフィカルな手法を場の理論的な文脈で捉える手法が得られたことは、重要な結果である。これは圏論と幾何学の橋渡しとなるものであり、今後の研究に対して重要な足掛りになる。
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| Strategy for Future Research Activity |
代数理論を基礎としたホモトピー論のモデルについて、それを∞圏の文脈に位置付ける必要がある。具体的には、Dold-Kan 対応を確立することが、このための第一目標になる。
他方、圏化の幾何的解釈について、図形付き多様体の分類をさらに進め、それが実際に圏論的構造を与えていることを示す。さらに、具体例を実際に構成し、既存の不変量をこの文脈によって説明することを試みる。また、現在はこの分類は微分同相類でしか見ていないが、もっと高次の構造まで見ることによって、圏化の操作をホモトピー論の文脈に位置付けることを目指す。
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Research Products
(2 results)
