2016 Fiscal Year Annual Research Report
ルート系に付随する多元環の Ｈｏｃｈｓｃｈｉｌｄ コホモロジー論の研究
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15J09492
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
塚本 真由 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | 準遺伝代数 / 片側強準遺伝代数 / Rejective 部分圏 / 標準加群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
準遺伝代数は遺伝鎖と呼ばれるべき等イデアルの列によって定義される代数であり, アルチン代数の表現論の観点からも盛んに研究されている. 片側強準遺伝代数は,Iyama のアルチン代数の表現次元の有限性の証明の中に現れる準遺伝代数を契機とし, Ringel によって導入された準遺伝代数の特別なクラスである.
昨年度は, この片側強準遺伝代数を圏論的な側面から研究した. アルチン代数のべき等イデアルの列は, そのアルチン代数上の射影加群のなす圏のある充満部分圏の列と対応している. そこでまずは, 片側強準遺伝代数の場合の遺伝鎖を観察した. すると片側強準遺伝代数の特徴付けとして現れる遺伝鎖の各項は射影加群となることがわかった (以下, この片側強準遺伝代数の特徴付けに現れる遺伝鎖を片側強遺伝鎖と呼ぶ). 次に上述の対応によって, 片側強遺伝鎖が左 rejective 鎖と呼ばれる特別な左 rejective 部分圏の列になっていることを示した. 特にアルチン代数が片側強準遺伝代数となることとそのアルチン代数上の射影加群のなす圏が左 rejective 鎖を持つことが同値であるという結果を得た. 更に左 rejective 部分圏を弱めた概念である reflective 部分圏に着目し, 片側強遺伝鎖に対応する充満部分圏に対しては, reflective 部分圏ならば左 rejective 部分圏となるという主張が成り立つことを示した. 以上の結果から, アルチン代数 のべき等イデアルの列 (*) が片側強遺伝鎖になる (つまりアルチン代数が片側強準遺伝代数になる)ことの同値条件を二つ与えることが出来る. (1) (*) に対応する充満部分圏の列が左 rejective 鎖になる. (2) (*) が 遺伝鎖で, (*) に対応する充満部分圏の列が reflective 鎖となる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上述の結果の応用として, 大域次元が２以下のアルチン代数が片側強準遺伝代数となることがわかった. また Auslander-Dlab-Ringel 代数が片側強準遺伝代数となることの別証明を与えることも出来た.
このように一定の成果を得ることは出来たが, 一昨年の研究についてはあまり進展がなかったため.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は, 次の二つの問題に取り組む.
1. Auslander 代数が両側強準遺伝代数となる場合の特徴付け
Auslander 代数は片側強準遺伝代数となることが知られている. 昨年度までの研究において, 片側強準遺伝代数をより強めた概念として両側強準遺伝代数を導入した. そこで, 本年度は Auslander 代数が両側強準遺伝代数となる必要十分条件を考察する.
2.Reflective 鎖で特徴付けられる代数の研究
昨年度までの研究で, 片側強準遺伝代数はその射影加群のなす圏が左 rejective 鎖を持つとして特徴付けることが出来た. そこで本年は, reflective 鎖を持つアルチン代数としてどのような代数が現れるかを研究する.
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Research Products
(5 results)
