2016 Fiscal Year Research-status Report
疎な多変数多項式・系に対する近似代数算法の開発と安定・効率化
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15K00005
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐々木 建昭 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (80087436)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
讃岐 勝 筑波大学, 医学医療系, 助教 (40524880)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 拡張ヘンゼル構成 / 疎な多変数多項式 / グレブナー基底 / 多変数多項式の消去イデアル / 多変数多項式の剰余列 / 多項式イデアルの最小元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、１）多変数多項式の拡張ヘンゼル構成算法をグレブナー基底を用いて定式化した、２）２個の多変数多項式の消去イデアルのグレブナー基底と多項式剰余列との重要な関係式を発見した、３）同グレブナー基底の計算を多項式剰余列を用いて大幅に効率化した、４）拡張ヘンゼル構成による疎な多変数多項式のGCD算法の効率化を達成した。
１）２個の多項式の消去イデアルのグレブナー基底で主変数を含まない要素は１個であることを証明した。これは、２変数の場合にはよく知られていたが多変数の場合には知られておらず、理論的に非常に有用な定理である。さらに関連する定理を二つ証明した。
２）連立代数方程式に対する二つの解法、グレブナー基底法と消去法、を関係づけたいとの古くからの研究者の願望に突破口を開いた。その関係は幾つかの定理からなっており、多くの実例を計算しているうちに発見し、非常に苦労をして証明したものである。
３）グレブナー基底計算は単項式消去の繰り返しで、生成した多項式の全ての対のS多項式が０になるまで実行する必要があり、非常に時間が掛かる。一方、剰余列計算は主変数の次数を数回の演算で落とすので高速であり、従変数が多い場合には決定的に有効である。１）で述べた定理は剰余列の最後の要素からイデアルの最小元が計算できることを示す。そこで、剰余列の要素を初期基底に組み込みグレブナー基底を効率的に生成する方法を考案し、国産数式処理システムGALにインプリメントして、高速性を実証した。
４）疎な多変数多項式のGCD計算に関しては、拡張ヘンゼル構成を利用した算法が世界最速と目されるカナダの数式処理システムMapleに数倍ほど負けていた。本研究の動機の一つは同システムに負けない高速性を達成することだったが、乗除算にまで工夫をこらして、Mapleと同じ程度にまで効率化を達成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の計画は本研究申請時に頭にあったアイデアに基づく研究だったが、研究をスタートさせると、申請時に最も期待していたテーマ（数値解析で著名なHouseholder法による浮動小数グレブナー基底計算の安定化）が複雑なため研究を中断し、計画通りという意味では進展しなかった。しかし、新たに手がけたテーマ（グレブナー基底による拡張ヘンゼル構成の定式化と算法改善）が予想外に大進展した。総合的に言えば、当初の計画以上の進展といえると思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
１年間でどこまでできるかわからないが、次の３点を研究しようと考えている。
１）現在の消去イデアルは、拡張ヘンゼル構成の文脈で扱ったので入力多項式が２個であるが、これを多数の多変数多項式の系に拡張して、より広い入力を対象とする系の消去イデアルの非常に効率的な計算法を開発する。消去イデアルは、連立代数方程式など多くの応用を持つので、それが効率化することは大きな意味がある。
２）拡張ヘンゼル構成を連立微分方程式系に拡張する。イデアルという観点からみると多項式イデアルも微分イデアルも同じように扱える。一方、拡張ヘンゼル構成は、特異点での級数展開という意味も持つ。したがって、微分イデアルの拡張ヘンゼル構成が可能になれば、微分方程式系の特異点周りでの新しい近似解法の開発に繋がると期待できる。
３）さらに、従来のテーマである疎な多変数多項式の近似GCDや近似因数分解の算法の効率化も続行する。
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| Causes of Carryover |
研究分担者の讃岐に外国出張費を含めて配分したが、国際会議への投稿を見送ったので旅費分が余った。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度には、研究分担者も論文をまとめて国際会議で発表する予定である。
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