2017 Fiscal Year Research-status Report
Development, stabilization and enhancement of approximate algebraic algorithms for sparse multivariate polynomials and systems
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15K00005
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐々木 建昭 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (80087436)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
讃岐 勝 筑波大学, 医学医療系, 助教 (40524880)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 拡張ヘンゼル構成 / グレブナー基底 / 消去イデアルの最低元 / 多変数多項式剰余列の最終元 / PC-PRS GCD算法 / EZ-GCD算法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. ２８年度までの研究で、拡張ヘンゼル構成のグレブナー基底による定式化では２多項式系{G,H}の消去イデアル(主変数xを消去)の最低元Sとその余因子A',B'が重要だが、従変数が多いと計算が非常に重いことが分っていた。本年度はGとHから生成される剰余列PRS(G,H)を利用して(S,A',B')の計算の高速化を目指した。グレブナー基底法で計算したA'とB'は大抵xに関し高次の多項式となるが、次数低減のため A'をHで、B'をGで割ったら、試した例すべてで割り切れた。そこで、このことは一般に成立するに違いないと予想し、苦労して次の定理を得た。PkをPRS(G,H)の最終元、AkとBkをその余因子、A=rem(A',H), B=rem(B',G) (remは剰余を表す) とすれば、(S,A,B) = c*(Pk,Ak,Bk)/gcd(cont(Ak),cont(Bk)) が成立する(cは定数でcontは係数のGCD(最大公約子)を表す)。
2. 拡張ヘンゼル構成は本研究代表者らが考案した算法で、ヘンゼル構成が破綻する臨界点における展開が可能である。この算法のアイデアを用いて、効率性が実証済みのPc-PRS GCD (べき級数係数剰余列GCD算法)とEZ-GCD(拡張Zassenhaus GCD算法)を展開点が臨界点の場合に拡張し、種々の効率化を行った。
3. 多項式の剰余列計算は部分終結式理論により詳しく研究されたが、擬除算に基づいているので、主変数に関して疎な多項式では不経済な計算をする。そこで、擬除算を(疎多項式用の)疎擬除算に拡張し、疎擬除算に基づく疎剰余列に対する行列理論を建設した。さらに、(疎)擬除算に基ずく剰余列計算は不可避的に中間式膨張を起こすが、この問題は未解決だった。そこで、べき級数演算を用いて不要な高次項を組織的に除去する方法で、この問題を解決した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1. 当初の目的は、微分方程式も含め、近似代数の諸演算の効率化を目指すものだった。しかし、「近似グレブナー基底計算のHousehoulder法による安定化」という切り札ともいうべきアイデアを、算法が複雑になりすぎたので捨てざるを得なかった。
2. 一方、当初は予想もしなかった「２多項式系の消去イデアルの最低元と余因子の組は、多項式剰余列の最終元と余因子の組と簡単な操作で同一化できる」との定理の導出は、第１項目の失敗を補って余りあるものだと自負している。これは大勢の専門家も見落としていた非常に有用な関係式で、レフェリーの一人(欧米人)が投稿論文を何とか闇に葬ろうと難癖をつけてきたほどである。
3. 上記の関係式は３個以上の多項式系にも拡張できるはずで、著名なグレブナー基底法と終結式法のそれぞれの長所を備えた新型の算法開発に結びつくものと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
本来は、この研究課題は２９年度で終了の予定だったが、『現在までの進捗状況』第二項目に述べたように、一レフェリーの執拗な反対で論文発表が遅れて、一つの論文の発表が３０年度にづれこんだ。その論文はすでに完成していて国際発表するので、３０年度からは新たに採択された研究テーマに邁進する。
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| Causes of Carryover |
国際会議に投稿した主要論文が一査読者の執拗な反対で受理が遅れ、そのあおりでもう１編の論文が投稿できず、国際会議への参加が１回だけとなり、１回分の国際会議参加用の旅費が使用できなかった。当該論文は別の国際会議に投稿したので、その費用に使用する予定である。
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