空間の近似のなす組合せ的構造とそれに基づく計算

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K00015
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 立木 秀樹 京都大学, 人間・環境学研究科(研究院), 教授 (10211377)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: グレイコード / プログラム抽出 / full-folding map / 不定元 / 余代数

Outline of Annual Research Achievements

実数の表現である Gray-code を相互再帰的に定義された余代数として表現する方法を考案し、その実数の表現を用いて、形式体系で行われた代数的、および、余代数的な関数の定義から実数計算を行うプログラムを抽出する研究を行った。抽出されたプログラムは、符号付き２進表現とグレイコードの間の変換、平均をとる操作、グレイコードの有限の接頭辞から正規形への変換、Gray code からModified Gray Expansion への変換を行うものである。これらの演算の形式化をMinlog というプログラム抽出の機能を持つ証明支援系において行い、実際にプログラムの抽出を行った。
位相空間上の写像が再帰的なプログラムとして表現できるためには、そのコードが（相互）再帰的な構造を持つ必要がある。Full-folding map が生成するコードのもつ相互再帰的な構造は、記号力学系における Sofic shift と対応している。２次元の円盤と同相な位相空間上の Full-folding map が生成するコードが再帰的な構造を持つことと力学系の性質、特に、critical point の軌道の有限性との関係について調べた。
グレイコードに基づいた実数空間のコンパクト部分集合の表現、および、不定元（⊥）を含む無限列を用いた空間のコンパクト集合の表現を考案した。カントール集合の⊥入り文字列表現に対しては、⊥の個数と集合の濃度が一致するような表現が得られた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

プログラム抽出を専門とする研究者と共同研究を行い、グレイコード上の計算の定式化およびそれに基づくプログラムの抽出に関する成果を得て共著論文にまとめることができた。また、⊥入り文字列を用いたコンパクト集合の表現に関して、今後の研究の基礎となる共同研究を始めることが出来た。

Strategy for Future Research Activity

すでに始めている海外の研究者との共同研究を発展させていきたい。

Causes of Carryover

海外との共同研究が、日程調整がうまくできず、思ったようにできなかった。

Expenditure Plan for Carryover Budget

研究発表のための海外出張を行う予定である。また、共同研究者を招聘する予定をたてている。

Research Products

• [Int'l Joint Research] ミュンヘン大学/ジーゲン大学(ドイツ)
  • Country Name: GERMANY
  • Counterpart Institution: ミュンヘン大学/ジーゲン大学
• [Int'l Joint Research] スウォンジー大学/ケンブリッジ大学(英国)
  • Country Name: UNITED KINGDOM
  • Counterpart Institution: スウォンジー大学/ケンブリッジ大学
• [Journal Article] Logic for Gray-code computation (2016)
  • Author(s): U. Berger, K. Miyamoto, H. Schwichtenberg and H. Tsuiki.
  • Journal Title: D. Probst and P. Schuster (eds), Concepts of Proof in Mathematics, Philosophy, and Computer Science Volume: - Pages: 未定
  • Peer Reviewed / Int'l Joint Research / Acknowledgement Compliant
• [Presentation] full-folding map が生成するコードの再帰性について (2016)
  • Author(s): 立木 秀樹
  • Organizer: 数論とエルゴート理論
  • Place of Presentation: 金沢大学サテライト・プラザ(石川県)
  • Year and Date: 2016-02-06 – 2016-02-08
• [Presentation] Domains with recursive structures representing a space (2015)
  • Author(s): Hideki Tsuiki
  • Organizer: 1st Pan Pacific International Conference on Topology and Applications (PPICTA)
  • Place of Presentation: Hangzhou(中国)
  • Year and Date: 2015-11-25 – 2015-11-30
  • Int'l Joint Research / Invited
• [Presentation] Computing with Compact Sets - the Gray Code Case (2015)
  • Author(s): Dieter Spreen, Hideki Tsuiki
  • Organizer: Continuity, Computability, Constructivity - From Logic to Algorithms (CCC 2015)
  • Place of Presentation: Kochel (ドイツ連邦共和国)
  • Year and Date: 2015-09-14 – 2015-09-18
  • Int'l Joint Research
• [Presentation] Logic for Gray code computation (2015)
  • Author(s): Ulrich Berger, Kenji Miyamoto, Helmut Schwichtenberg and Hideki Tsuiki
  • Organizer: CCA:Twelfth International Conference on Computability and Complexity in Analysis
  • Place of Presentation: 明治大学 (東京)
  • Year and Date: 2015-06-12 – 2015-06-15
  • Int'l Joint Research