2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04776
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
越谷 重夫 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30125926)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 表現論 / ブルエ予想 / 導来同値 / アルペリン重み予想 / カルタン不変数 / アルペリン・マッカイ予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず初めに、６つの論文が出版されたが、それについて述べる。重要な散在型単純群である第一コンウェー群に関して、ブルエ予想を完全に解いた。これは J.Mueller, F.Noeske との共同研究である。次に、ブルエ予想と関係が深い森田同値では、「カルタン不変数」が保存されるが、標数が 2 の場合にはこの値を取る有限群が完全に決定されることを証明した。次にブルエ予想の周辺の研究として、「アルペリン重み予想」があるが、これに役立つ「クリッフォード理論とブラウアー持ちあげ」の関係を記述した結果を B.Spaeth との共同研究で得た。次に、ブルエ予想と関連が深い安定圏同値において重要な加群として、自明自己同型加群がある。C.Lassueur との共同研究として、考えている有限群のシロー群がクライン四群の場合に、ある構造を解明した。さて、有限群の表現を整数環上で考えることもブルエ予想解明に関しては貴重は一歩となる。これに関して、 R.Kessar と M.Linckelmann との共同研究として、整数環上有限群の多元環が対称多元環になる場合について考察した。最後に R.Kessar および M.Linckelmann との共同研究としてスコット加群のブラウアー直既約性を考察した。これはブルエ予想を証明する際の常套手段の一つで、ブルエ予想の完全解決に役立つはずである。
また、上記の結果を ドイツ・オーバーヴォルファッハ数学研究所研究集会、ドイツ・イェーナ大学国際研究集会、京都大学数理解析研究所研究集会、アメリカ合宿国ミネソタ大学、およびニューヨーク市立大学で招待講演を行った。この分野の大御所であるLinckelmann、Rickard、Chuang、Kessar、Malle などとも今回の研究課題に関して多くの研究打合せができ、大変有意義であった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
この年度は、論文が６つ出版され、そしてドイツ、アメリカ合衆国などで５回の海外招待講演を行い、そして同時にこの分野の多くの専門家たちと直に共同研究の打合せ、および研究打合せができた。「ブルエ予想」の最終的解明にはまだ至っていないが、かなり手ごたえを感じてきている。特に、懸案となっている、標数が３であって考えている不足群が可換群の場合については、有限単純群の分類結果をつかうことも視野に入れている。同時に、ブルエ予想のみではなく、それに関連する予想「アルペリン重み予想」および「アルペリン・マッカイ予想」も同時に考えることが非常に重要であることが、実感として理解できた。特に、マッカイ予想を一部解いた B.Spaeth との共同研究では、多くの手法、考え方を学ぶことができた。これは今後の「ブルエ予想の解明」に向けて、大変役立つと確信できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず本題の「ブルエ予想」に関してであるが、散在型単純群における非主ブロックで位数９の不足群を持つ未解決な場合として、フィッシャー群24の交換子群、ベービーモンスター群がある。このうち、前者に関しては、既に J.Mueller と共同研究を行っている。この1-2年の間には決着を付けたいと思っている。また、「ブルエ予想の周辺」として非常に大事な予想である「アルペリン重み予想」および「アルペリン・マッカイ予想」に関しても、上記に名前が出てきている B.Spaeth との共同研究が、実を結びつつあるので、これを完全に完成させたい。また以上の研究を含め、平成28年度はスイス・工科大学ロザンヌ校での半年におよぶ有限群の表現論に関する大きな研究集会があり、既にそこでの講演を招待されているので、その機会を利用して、更なる研究の進展ができると期待している。
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