2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04779
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| Research Institution | Aichi University of Education |
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Principal Investigator |
岸 康弘 愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (60380375)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
冨田 耕史 名城大学, 理工学部, 准教授 (50300207)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 代数学 / 数論 / 連分数 / 二次体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、主に連分数を用いて実二次体を分析し、その中でも類数に関する情報を引き出すことを目的としている。特に、類数が1となる実二次体が無数に存在するという、実二次体に関するガウスの類数1問題を解くことが一つの大きな目標である。数値実験によれば、各偶数周期の最小元には類数1の実二次体を与える自然数が並んでいる。我々はこの現象を解明するため、「pre-ELE型有限列」という概念を導入した。5つの増殖変換によってpre-ELE型有限列を操ることが可能であるが、どのような変換で周期の最小元が持つpre-ELE型有限列を構成できるのか、そのメカニズムの解明を今後の研究課題としている。本年度の成果を次に挙げる。
１．11億までのデータが集まり、各周期の最小元の持つ性質に関する我々の予想に反例は見つからなかった。
２．実二次体の類数の下からの評価を、類数公式や横井不変量を利用して計算し、特定の増殖変換から作られたpre-ELE型有限列から構成される実二次体の類数が1とならないことを示した。
３．島根大学の青木美穂氏との共同研究により、類数が5で割れる虚二次体のペアの無限族をある4次多項式の根を利用し構成した。この結果は2017年7月に発行された「Journal of Number Theory」に掲載されている。さらに、この結果を8を法として5と合同な素数pに拡張し、類数がpで割れる(p-1)/2次巡回体のペアの無限族の構成に成功した。この結果については、熊本で行われた研究集会にて口頭発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計算機を用いたデータ収集については、当初の予定通り順調に結果が得られている。また、pre-ELE型有限列を構成する5つの増殖変換から、実二次体の類数に関して意味のある結果を得ることができた。しかしながら、実二次体の類数が1となることの判定条件に現れる不変量Q_nの分析について、今年度の進展は見られなかった。総合的に見て、おおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度より引き続き、最小元の構成法を得るために5つの増殖変換や不変量Q_n、部分商の最大数の数やその値に関する分析を行う。また、平方因子を持つような自然数も統一的に扱うために、実二次体の一般の整環について、イデアル類群や類数などの分析を行う。
一昨年度、昨年度と同様に、学習院大学もしくは名城大学において研究分担者の冨田耕史氏、連携研究者の河本史紀氏に加え、名古屋大学の鈴木浩志氏と共同のセミナーを開催する予定である。
また、今年度も、福岡数論研究集会、愛知数論セミナーを開催し、情報収集に活用する。
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| Causes of Carryover |
研究分担者及び連携研究者との共同のセミナーを、当初の予定していた回数開くことができず、若干の残余が生じた。その残額を、今年度行う共同のセミナーの旅費に繰り越し、約20万円の使用を予定している。また、インドで行われる国際研究集会への参加旅費を約20万円、その他の研究集会参加旅費を約15万円、研究補助等の謝金を約5万円、数論関係の図書のための物品費を約3万円計上している。
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Research Products
(8 results)
