2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04802
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| Research Institution | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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Principal Investigator |
水川 裕司 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (60531762)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 有限等質空間 / 環積のゲルファントペア / カットオフ現象 / 対称関数 / 分割恒等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はエーレンフェストの壺モデルと有限群のゲルファントペアに関する理論をほぼ完成することが出来た。有限群のゲルファントペアを環積のゲルファントペアに拡張した際の帯球関数は一様に青本ーゲルファントの超幾何関数で記述することができるが，元のゲルファントペアの個性ははっきりしなかった。しかし，これをエーレフェストの壺モデルと解釈することによって壺の間の相互作用を元のゲルファントペアが統制していることを解明した。このようにして群作用から得られる壺の相互作用を用いたランダムウォークの全変動距離に関する上下の評価を行い，これはかなり繊細な取扱が必要であったが，無数に多くの例を含む形でカットオフ現象が起こる場合を提示することが出来た。一般論としてはここでなされたことがおそらく限界で，さらなる精密な評価は元のゲルファントペアを具体的なものに置き換える必要があるだろう。また，これに関する論文を若干修正し，投稿し受理された。この理論に関する比較的長めな講演を横浜国立大学のセミナーで行った。
他にはKdV方程式と対称関数，とくにシューアのQ-関数との関係を熊本大学山田裕史氏と考えた。佐藤幹夫氏によるソリトン理論は大変スマートでこれ以上なく簡潔にKdV方程式の解を記述するが，対称関数との関係を考えるとまだまだ多くの内容を含んでいるように思われる。これはまだ，十分な結果は得られてはいないが，目下継続中である。また同氏と分割恒等式について考察した共著論文がHokkaido Mathematical Journalに掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有限群のなす等質空間と確率論との関係に関する研究が一段落し，研究論文が学術雑誌に受理されたのでこの側面に関しては順調である。さらに分割恒等式に関する論文が雑誌に掲載されるなど前年度までの研究が実を結んでいる。さらに継続中の研究も興味深く，テーマであるリー型の組合せ論の中心的話題である。また，指標と特殊関数に関する研究に関しては思うような例を構成できてはいないが，有限群のcrested積に関するいくつかの期待のできる物があり，これを暫く考えるのが良いだろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はまずはKdV方程式とシューアのQ-関数に関する研究を当面続ける。これは佐藤によるソリトン理論の再訪であるが，今までの我々の様々な対称関数に関する研究の下地を活かすことで新しい公式や応用が見つかるはずである。これに関しては明海大学の中島氏，熊本大学の山田氏と共に研究を進める。また，指標の理論でフロベニウス-シューアの定理の一般化の話題を取り扱いたい。元の定理は有限群の表現論の理論に於いても最重要な公式を与えている。これの環積を用いた一般化を数年前に発表したが，さらにより一般の場合を含むような形で公表を目指す。さらにCrested積などを考え指標と特殊関数の関係をより深く理解したい。
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| Causes of Carryover |
防衛大学校の研究科（大学院に相当）の学生を担当した。学生は本学の出身の自衛官であるが，卒業後4年ほど部隊勤務を経て研究科に入学したため，基礎知識が大きく欠けており，その指導はまさに手取り足取り行う必要があった。したがい，本来予定していた出張等を大幅に断念せざるを得なく，その結果次年度私用額が発生してしまった。今後はこの2年間に行う予定だった出張計画をなるべく取り戻すようにしたい。また，論文印刷用のプリンターを新しく購入する予定である。
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