2017 Fiscal Year Research-status Report
極小モデル理論の視点からのユニポテント代数群作用を持つ代数多様体の族の構造解析
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15K04805
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
岸本 崇 埼玉大学, 理学部, 准教授 (20372576)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ユニポテント代数群 / del Pezzoファイブレーション / 森ファイバー空間 / Fano多様体 / affine extension |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２９年度は，色々な設定の下でユニポテント代数群作用を持つアフィン代数多様体の変形や，そのようなアフィン代数多様体を含む射影多様体(特にFano多様体)の変形について考察をした．まず，Dubouloz(Bourgogne大学)との共同研究により，任意次元のdel Pezzoファイブレーションがファイブレーション構造と共存するシリンダーを含む為の必要十分条件を与えることに成功した．実際にdel Pezzoファイブレーションの次数のみで判定できるので，非常に有用である．この結果を高次元化するという１つの試みについても，同じくDuboulozとの共同研究で完成することができて，現地点でそのarXiv論文は投稿中である．一方で，１次元のユニポテント代数群作用を有する３次元のアフィン代数多様体の商写像に関する２次元特異ファイバーの振る舞いについて，Dubouloz, Hedenとの共同研究を完成することが出来た．２次元迄とは大きく異なり，３次元の１次元ユニポテント代数群作用に関する商写像は取り扱いが極めて複雑になる．しかし特異ファイバーがスキーム論的にアフィン平面に同型である場合には，構成方法を込めて完全に分類することに成功した．この結果は，arXiv論文として公開しているが，同時に現在投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題はユニポテント代数群作用を有するアフィン代数多様体の変形族の振る舞いを理解することが主目的である．当初は，ユニポテント代数群作用を有するアフィン曲面の変形族を解析しており，それに関してDuboulozと結果を発表することができたが，その地点から次の方向で問題考察を発展することが出来ている:
(1) 相対次元を２次元から一般次元にする．(2) 相対的にアフィン射である設定を，相対的に２次元または３次元の射影射(特に森ファイバー空間)にする．
(1)については，[研究実績の概要]でも言及したように，Duboulozとの共同研究によって，ユニポテント代数群作用を有するある種のアフィン代数多様体の変形族の全空間も再び大域的なユニポテント代数群作用を持つということを証明することに成功した．この結果に関する論文は既にarXiv版になっており，現在，投稿中である．
(2)について，相対的に２次元の射影射の森ファイバー空間，つまりdel Pezzoファイブレーションである場合にはDuboulozとの共同研究により，ファイブレーションと共存するシリンダー，ユニポテント代数群作用をdel Pezzoファイブレーションの次数のみで判定できることを証明することに成功した．一方，相対的に３次元の森ファイバー空間の場合については，かなり以前から私の中に問題として挙っていたが，当時はまだ時期尚早ということで問題に着する時期を探っていた．しかし平成２９年度の１２月迄に得られた上記の結果を考察する過程で，最終的に相対的に３次元の場合にも着手することが出来た．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成３０年度は，上記の[現在までの進捗状況]の最後で述べた様に，相対次元が３の森ファイバー空間についてファイブレーション構造と共存するシリンダーの存在性について，Duboulozと共同研究を続けている．この種の問題は生成ファイバーを考えることにより，代数閉体ではない小さい体上に定義されたFano多様体の中に含まれるシリンダーの存在性を解析することが本質である．より詳細には，代数閉包まで基底変換をして，その後にガロア群作用に関する同変なシリンダーの存在性である．この群作用の視点を一般化すると，たとえ複素数体のような代数閉体上のFano多様体の場合であっても，その自己同型群に含まれる固定した有限群に関する同変なシリンダーの存在性となると，問題は非常に複雑になる．それは射影空間の場合でも既に問題は極めて複雑である．今年度は引き継いでDuboulozとまたCheltsov(Edinburgh大学)との共同研究で，Fano多様体の自己同型群に含まれる有限群に関する同変シリンダーの存在性について，考察を進めていく予定である．
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