2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04808
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
白石 潤一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20272536)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | C型マクドナルド多項式 / C型ホール・リトルウッド多項式 / コストカ多項式 / qカタラン数 / Laumon空間 / スクリーニング作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(I) 分割が一列型(1^r)の場合について, C型マクドナルド多項式の明示的公式を得た. この結果は, 以下の (1), (2), (3) のような幾つかのより基礎的な知識を基にして導出された. (1) Askey-Wilson多項式の４重級数による表示と, それに付随するbi-basic超幾何級数に関する変換公式. (2) BC型Koornwinder作用素に関する三町の核関数関係式. (3) Bressoudの逆行列理論と, それに付随するq超幾何級数の変換及び和公式.
また, 分割が一列型の場合について, C型モノミアル多項式, C型シューア多項式, C型マクドナルド多項式, C型ホール・リトルウッド多項式の間の遷移行列を求めた. 特に, C型シューア多項式をC型ホール・リトルウッド多項式で展開する際に現れる係数 (コストカ多項式) がtカタラン数（ないしそれの一般化であるtカタラン三角数）で表されることを見出した. 私は, このカタラン数の意外な出現については全く予期していなかった. そして, この現象を極めて興味深いものと感じている.
昨年度, ランクの小さい場合には, A型のマクドナルド多項式からある種の折りたたみ操作で得られる多項式をC型マクドナルド多項式で展開する際の展開係数がうまく因子化する, という予想を得たのだが, 上述のコストカ数の出現は, また少し違う角度から見えるA型とC型の対応だと思うことができる.
(II) A型のアフィンルート系に付随するLaumon空間のオイラー指標を, トロイダル代数の構造を持ったスクリーニング作用素の多重積分で表示することができた. これは, アフィンLaumon空間の幾何学が, 楕円化されたトロイダル量子群の表現論の上に構成できることを意味する.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(I) C型マクドナルド多項式とカタラン数の関係は, 現在のところ, 主に組合わせ論の観点から研究している. その意味では, より内在的もしくは幾何学的な理解に欠けていると言える. ただし, カタラン数との関係については, その意外性から考えて, 今後の研究についての全く新しい糸口となる可能性を感じている.
また, 超幾何級数に付随する組合わせ論の側面から見ても, 単にBressoudの逆行列理論の中に収まりきらないような美しい逆行列理論構造が見えたことも注目に価するのではないかと考えている. 実際, (1) ある種のBressoudの行列の積に対して bi-basic超幾何級数の変換公式が適用できて, その結果が4phi3級数になること, (2) 4phi3級数を行列要素に持つような逆行列理論が存在すること, (3) 行列要素に関する4項間漸化式が存在すること, 等はどれも全く新しい現象であり, 今後さらに深く研究されることが望ましい.
(II) アフィンLaumon空間の幾何学の表現論的側面の研究は, 量子コホモロジー理論の一例としてロシアの研究者たちによって数年前から研究されてきた. 特異点の解消法, コホモロジーの計算法等は, ほぼ有限型のA型ルート系に付随する場合と同じように処理される. 有限型のA型の場合, Laumon空間のオイラー指標はマクドナルド多項式となるのであったことに注意すれば, アフィンLaumon空間のオイラー指標は, ある意味でマクドナルド多項式のアフィン化となるべきものである. このことを念頭におけば, アフィンLaumon空間の幾何学的ないし表現論的理解の重要性は明らかであろう. 実際, 以下にやや具体的に述べるように, 様々な重要な問題を含んでいる.
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| Strategy for Future Research Activity |
(I) 分割が一列型の場合のB型のマクドナルド多項式の明示的公式を得ることは, C型の場合の次の直近の課題である. できれば, BC型Koornwinder多項式一般で分割が一列型の場合の明示的公式を得たい. 上述のように, A型のマクドナルド多項式からある種の折りたたみ操作で得られる多項式についての私の予想を証明する, ないし, ランクを上げていった場合の分岐規則の挙動についてより入念に調べ, 新しい予想を得たい. D型のマクドナルド多項式はC型よりも不規則な振る舞いをするように見えるが, 具体的計算例をより増やして, D型特有の現象, ないし, BC型一般の現象を掴み取るべく, より組織的な実験的な計算を試みたい.
(II) 私のこれまでの様々な実験的な計算結果から見れば, アフィンLaumon空間の幾何学の表現論的側面の研究は, 可積分系の物理学について幾つかの重要な結果を導くことがわかっている. 例えば, 楕円関数を基礎とするRuijsenaars模型の固有値及び固有ベクトルの構成について, 一応の閉じた処方箋が得られる. 他方, ここに述べたトロイダル的スクリーニング作用素の理論は, Ding-Iohara代数の表現論に付随した位相的頂点の理論の変形理論とみなすことができる. しかしながら, そのような変形に際して表現論的に相当微妙な扱いを要する状況が生じる. 可能ならば, そのような技術的な側面も確立していきたい. 最終年度にはそのような様々なことを考慮しながら, さらに視野を広く持って研究結果をまとめるつもりである.
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