Completion of the foundation and applications of Hodge modules

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15K04816
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 斉藤 盛彦 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (10186968)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 対数微分形式 / 対数比較定理 / 分解定理 / 高次有理特異点 / ヒルツェブルフ・ミルナー特性類 / ヴェルディエ特殊化 / ホッジ加群

Outline of Annual Research Achievements

超曲面に沿った対数微分形式の複体と有理微分形式の複体とが導来圏においていつ同型になるかという所謂対数比較定理について考察し、超曲面が重み付き斉次多項式で定義されている場合には対数微分形式がブリースコルン加群を使って表せられる事等を示した後、その成立が超曲面のベルンシュタイン佐藤多項式の－１以外の整数根の有無と密接に関連している事等を証明した。
固有ケーラー写像の場合の導来圏における定数層の順像の分解定理の証明について、30年以上前の論文の中でかなり不正確な部分が発見されたので、その修正に関する研究を行なった。ここではホッジ加群の偏極の符号というのが相当厄介な問題となる。この定数層の場合の論法を一般の場合に拡張することもずいぶん考えたのではあるが、結局完全に何か新しいアイデアが必要という結論に落ち着いた。
超曲面の高次有理特異点が被約ベルンシュタイン佐藤多項式の根で決まることを証明した。また、超曲面の高次有理及び高次デュボワ特異点をヒルツェブルフ・ミルナー特性類を使って特徴付けるマキシム・ヤンの論法について、それが射影超曲面の場合には殆ど適用出来ない事を発見したので、その修正を行なった。ここでヒルツェブルフ・ミルナー特性類というのは元々超曲面の大域的な定義関数に沿ってのホッジ加群の消滅輪体を使って定義されていたのだが、大域的定義関数が全く不要な枠組みを導入した。
非特異代数多様体の閉埋入による混合ホッジ加群の引戻しはコスズル複体を使って表せられるというチェン・ダークスの主張について、混合ホッジ加群のヴェルディエ特殊化をうまく使えば帰納的議論に簡単に載せられることを示し、彼らの論法をかなり簡略化することに成功した。