代数曲線束構造を通じた代数曲面の研究

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04825
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 村上 雅亮 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (10378599)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 松村 慎一 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90647041)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 代数曲面

Outline of Annual Research Achievements

代数曲面の上にはしばしば良い代数曲線束構造が入る．これを調べることが代数曲面論においていかに中心的な役割を果たしてきたかはカステルヌウォーヴォ，エンリケス等のイタリア学派の時代からの歴史が示すとおりである．本研究においては近年のカタネーゼ，ピニャテッリの結果を踏まえ，新しいアプローチの拡張として，代数曲線束の相対標準環の大域構造を調べている．相対標準環の構造からある種のデータを抽出し，それにより構造を記述し，それらを用いて一般型代数曲面のモジュライ空間の研究に応用するのがその目標である．本年度は代数曲線束の構造定理よりは，そのあるべき姿を模索するために，すでにある結果を応用して具体的な代数曲面の構造を調べた．特に幾何種数が4のある種の一般型代数曲面において，いくつかの仮定のもとに代数曲線束構造の方法を用いて，その曲面の構造を調べた．現在のところいくつかの場合を排除する等の部分的な結果にすぎないが，この方向で調べることにより，小結果を得るとともにもともとの問題である代数曲線束の構造定理にも知見を得られるのではないかとの感触を得ている．この方向で十分な結果が得られれば具体的なモジュライ空間のストラータの張り合わせの問題の例となることが期待されるので，引き続き今調べている幾何種数4の代数曲面を調べ，それを分類定理にまで発展させたい．なおファイバーの2-連結性をはずす問題については引き続き考えている．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

ファイバーの2-連結性をはずす問題に時間をさくとともに，上記の曲面を調べるうえで必要な知識を補う必要があった．これについては計算を進めると同時に平行して行っている．

Strategy for Future Research Activity

上に述べた幾何種数4の曲面を引き続き調べる．また他の不変量の場合にも考察の対象を広げ，代数曲線束構造の研究の手がかりとする．