2017 Fiscal Year Research-status Report
ループ群による非コンパクト対称空間への調和写像の構成と曲面論への応用
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15K04834
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
井ノ口 順一 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40309886)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ループ群 / 非コンパクト対称空間 / 調和写像 / 弾性曲線 / 対数型美的曲線 / 磁場曲線 / グラスマン幾何 / テータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主要研究対象である「調和写像の構成と曲面論への応用」に関し、以下の研究成果を得た。
１）調和写像の1次元類似である弾性曲線を非コンパクト・リー群のもとで考察した。平面の相似変換群を用いて弾性曲線の相似幾何学的類似を考察した。弾性曲線の相似幾何学的類似は工業意匠設計において活用されている対数型美的曲線を含むことを示した（論文[1]として発表）．
２）リーマン面で定義され双曲平面に値をもつ調和写像の方程式の類似としてTzitzeica方程式が知られている。５次元球面内の水平的極小曲面の構造方程式は楕円型のTzitzeica方程式で与えられる。前年度に５次元球面内の水平的極小曲面のテータ関数による記述を宇田川誠一氏、谷口哲也氏との共同研究で遂行した。双曲型のTzitzeica方程式は３次元等積アフィン空間におけるアフィン球面の構造方程式を与える。宇田川誠一との共同研究により、双曲型のTzitzeica方程式のテータ関数解で定まるアフィン球面の具体的表示を与えることに成功した（論文投稿中）．
３）前年度に引き続き、3次元非ユニモデュラー・リー群内の1次元等方部分群で定まる軌道型曲面の具体的な記述を与えることに成功した（国際会議で成果発表）４）前年度の継続課題として、リーマン多様体上の磁場ベクトル場の新たな例を構成した（M.I.Munteanu氏との共同研究、論文掲載決定）．この課題と並行して、３次元可解幾何における標準的接触構造から定まる磁場曲線の軌道を求めることに成功した（E.Zlatko氏との共同研究、論文[3]として発表）．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度に得た３次元反de Sitter時空内の極大曲面に対する「ルー・ヴィルムス型定理」を出発点とし、極大曲面のテータ関数を用いた具体的記述に関する研究を開始した（宇田川誠一氏との共同研究）。この研究遂行のため、並行してアフィン球面のテータ関数による記述を宇田川氏と行い成功した。この成功により極大曲面の場合に起こりうる困難点とその対処策を明確化でき、目標達成の確実性をさらに増すことができた。3次元ハイゼンベルグ群Nil内の極小曲面に関しては27年度、28年度の研究成果を基軸として対称性をもつ極小曲面の性質の解明に関する結果が得られている。今年度は、「調和写像の構成法」の応用として調和写像の1次元版に相当する弾性曲線を非コンパクト群で定まる幾何学で考察した。相似変換群で定まる平面幾何において弾性曲線を考察し、工業意匠設計において活用されてきた対数型美的曲線の幾何学的性質の解明および変分学的定式化に成功した。本研究の有用性をさらに高めることができたと言える。前年度の継続として磁場曲線およびグラスマン幾何についても新たな成果が得られている。
以上を総合して「おおむね順調」と判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度であることから、本研究の目標である「ループ群による双曲平面への調和写像の構成」の３つの課題「３次元双曲空間内のガウス曲率一定曲面の構成」、「3次元ハイゼンベルグ群Nil内の極小曲面の構成」および「３次元反de Sitter時空内の極大曲面の構成」に関し、それぞれに設定した具体的な課題の達成を目標とする。
１）双曲空間内のガウス曲率一定曲面については、リーマン面上で指定したデータから曲面を構成する方法と完備性の判定の完成を目指す（２７年度の成果を基礎とする）。
２）ハイゼンベルグ群Nil内の極小曲面については２９年度の成果をもとに対称性をもつ極小曲面の構成法の完成を目指す。
３）反de Sitter時空内の極大曲面についてはテータ関数による具体的例の構成を目指す。また、本研究のもうひとつの目的であるこれら３つの課題に関する研究成果の応用として２９年度に引き続き対数型美的曲線を考察対象とし、調和写像（および弾性曲線）の観点から一般化を考察する。
研究の進展・競合する海外の研究者の動向や研究成果に応じて適宜、研究順序などを修正し研究を遂行する。
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