2016 Fiscal Year Research-status Report
ラグランジュファイバー空間の微分幾何とフレアー理論
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15K04847
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
野原 雄一 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (60447125)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | フレアー理論 / 完全可積分系 / ミラー対称性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
n次元複素ベクトル空間内の2次元部分空間全体のなす Grassmann多様体 Gr(2,n) には、複数の Lagrangeファイブレーションの構造を入れることができる。より正確には、n角形の三角形分割を指定するたびに Lagrangeファイブレーションが構成される。これまでの研究で、それらの Lagrangeファイバーに対して、正則円盤を数え上げることで定まる Floer理論的な“不変量”のひとつである、ポテンシャル関数を計算した。ポテンシャル関数は代数トーラス上の関数とみなすことができるが、異なる三角形分割に対応するポテンシャル関数たちは適当な座標変換で同一視することができる。2016年度は、ポテンシャル関数たち（を貼り合わせたもの）が Gr(2,n) のミラー（スーパーポテンシャル）と一致することを示した。Gr(2,n) のミラーは Marsh-Rietsch により Gr(2,n) の稠密な開集合とその上の正則関数の組として構成されている。Gr(2,n) の斉次座標環はクラスター代数の構造を持っており、クラスター変数の選び方が n角形の三角形分割の取り方に対応していることが知られているが、上述のポテンシャル関数たちを同一視する座標変換はそのクラスター変数の変換則と一致している。さらに、その変数変換は以下のようにシンプレクティック幾何的に導出される。異なる二つの三角形分割に対応する Lagrangeファイブレーションに対し、それらをつなぐ Lagrangeファイブレーションの族を考えると、それが特異ファイバーを持つことから、正則円盤の挙動が不連続に変化する“壁”が生じる。これに対し、クラスター変数の変換公式が正則円盤の数え上げの壁越え公式と一致することを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通り、Grassmann多様体 Gr(2,n) の Lagrangeトーラスファイバーのポテンシャル関数たちが互いにクラスター変換で貼り合うこと、その座標変換が正則円盤の数え上げに対する壁越え公式と一致することを示すができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の欄で述べた Gr(2,n) のポテンシャル関数たちを貼り合わせてできるものは、Grassmann多様体のミラーの大部分を覆ってはいるが、本質的に重要な点が一部含まれていない。この不足している対象は Lagrangeファイブレーションの特異ファイバーからの寄与として得られることが予想されるため、当初の計画に加え、特異ファイバーについての研究も行う。
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| Causes of Carryover |
2017年3月に研究集会の開催を予定していたため、その予算を確保しておいたが、当初の見込みより旅費の補助を必要とする講演者が少なかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
諸般の事情で上記の研究集会で講演をお願いできなかった研究者もいたため、改めてセミナー等を企画し、前年度の残額をその招聘の費用に充てる。
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