2018 Fiscal Year Research-status Report
ラグランジュファイバー空間の微分幾何とフレアー理論
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15K04847
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
野原 雄一 明治大学, 理工学部, 専任准教授 (60447125)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 完全可積分系 / ラグランジュ部分多様体 / ミラー対称性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
n次元複素ベクトル空間内の2次元部分空間のなすグラスマン多様体 Gr(2,n) 上の完全可積分系と、グラスマン多様体のミラー多様体の関係について研究している。グラスマン多様体のミラー多様体は、クラスター座標近傍と呼ばれる代数トーラスの貼り合わせ（の部分コンパクト化）として構成されることが知られている。この張り合わせを与える変数変換をクラスター変換と呼ぶ。これまでの研究で、Gr(2,n) 上の完全可積分系のラグランジュファイバーに対し、フレアー理論的な"不変量"（ラグランジュ部分多様体に境界を持つ正則円板を数え上げることにより定まる）を計算し、異なる完全可積分系のラグランジュファイバーに対する"不変量"の間の壁越え公式がミラー多様体上のクラスター変換と一致することを示した。一方、Pascaleff-Tonkonogは（より一般のシンプレクティック多様体の場合に）このFloer理論における壁越え公式を、完全可積分系を使わない形で定式化・証明している。今年度は、上で述べた Gr(2,n)上の完全可積分系に対する壁越えを、Pascaleff-Tonkonogの定式化を用いて理解し直した。より一般の（すなわち、高い次元の部分空間のなす）グラスマン多様体の場合は、ミラー多様体を構成するために必要な完全可積分系が部分的にしか得られていないため、Gr(2,n) の場合のように完全可積分系に対するフレアー理論からミラー多様体"全体"を見ることができていない。したがってこの定式化による記述は、より一般の場合を研究する上で有力な方法を与えると期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度は大学内の業務が大幅に増え、研究に使える時間が減ったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の Pascaleff-Tonkonog による定式化を用いて、Gr(2.n) 以外のグラスマン多様体の場合に壁越え公式とミラー多様体のクラスター変換の関係を調べる。最初の目標は6次元ベクトル空間内の3次元部分空間のなすグラスマン多様体 Gr(3,6) である。これは Gr(2,n) の場合とは異なるタイプのクラスター変換が現れる最も簡単な空間であり、この場合を詳しく理解することは、より一般の空間を調べるための重要なステップになると考えられる。
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| Causes of Carryover |
（理由）予定していた研究集会が参加者のスケジュールの問題で開催できなくなった。また、大学の業務が増え、当初の予定より参加できる研究集会等が少なくなった。
（使用計画）昨年度開催できなかった研究集会を改めて企画する。また、セミナー等に研究者を招聘するために費用にも充てる予定である。
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