2017 Fiscal Year Annual Research Report
Application to Geometry of deformation quantization and star exponetials
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15K04856
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
吉岡 朗 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 教授 (40200935)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 変形量子化 / 非可換指数関数 / star product / star exponential / convergent star product |
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| Outline of Annual Research Achievements |
変形量子化の具体的な系への応用として、前年度までの研究において固有値が求まる例を調べた。この計算には系の完全積分可能性が重要であった。最近、可積分系を微分幾何学的に扱うHaantjes テンソルの方法が提唱されている。その応用として正準座標系の構成がある。本年度の研究において、この方法をいくつかの系に適用して正準座標系を構成し、この座標系に基づく変形量子化の足掛かりを得た。
変形量子化代数の２次式に対する指数関数を用い、特殊関数の対応物をいくつか構成した。さらに、１変数の可換変形量子化代数における超幾何関数の対応物の構成を研究し、べき級数に変形量子化代数におけるHermite多項式の対応物を代入してKummer関数の量子変形を得た。
非可換指数関数は一般に特異点を持つことを、前年度までの研究において明らかにした。指数関数の、特異点の周りの級数展開は係数が変形量子化代数の元であるべき級数を与える。本年度の研究において、指数関数にたいする留数計算により非可換関数等式が得られることを明らかにした。その応用例として、前年度までに構成した特異点からのVirasoro代数を、１変数の変形量子化代数における２次式の指数関数に対する留数の計算としての定式化を整理した。この方法により１変数の変形量子化代数から多変数の非可換変形量子化代数に拡張する足掛かりを得た。
２次元の上半平面における複素構造全体の集合を底空間とする１次元複素線束を考え、幾何学的量子化を構成することが行われている。これに対し、2生成元の変形量子化代数の指数関数を用いて同等なものを得た。
以上のように、変形量子化代数の指数関数の特異点の性質とその応用が具体例を通して次第に明らかになったといえる。また、非可換ゲージ理論において新しい応用例を得た。
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