2016 Fiscal Year Research-status Report
ウィッテン摂動を用いたディラック型作用素の指数理論とその応用
| Project/Area Number |
15K04857
|
|---|
| Research Institution | Meiji University |
|---|
Principal Investigator |
吉田 尚彦 明治大学, 理工学部, 専任講師 (70451903)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 幾何学的量子化 / Spin-c Dirac作用素 / 指数 / Lagrangeファイバー束 / Bohr-Sommerfeldファイバー / 断熱極限 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
前量子化束付きLagrangeファイバー束のファイバーがBohr-Sommerfeld（以下，BS）であるとは，前量子化束のファイバーへの制限が非自明な平行切断を持つときをいう．BSファイバーは離散的に現れることが知られている．全空間が閉多様体である場合には，この個数がSpin-c Dirac作用素の指数と一致する現象が様々な例で確認されている．本研究の目的は，この現象のメカニズムを解明し，物性理論などへの応用を図るものである．
これについて初年度は，Lagrangeファイバー束の全空間のRiemann計量をファイバー方向が小さくするように変形したときの（このような極限操作を断熱極限という）Spin-c Dirac作用素の核の元の挙動を，2次元トーラスから円周への自然なLagrangeファイバー束の場合に考察し，各BSファイバーに対して，核の元で断熱極限をとるとサポートがそのBSファイバーに集中するようなものを具体的に書き下した．さらに，それらが指数の基底になっていることも分かった．
そこで，2016年度はまず初年度に得られた指数の基底の元の円周の普遍被覆への引き戻しを考察し，各BSファイバーの十分近くにサポートを持つある切断が存在し，この切断を円周の基本群作用に関して平均をとったものが基底の元の引き戻しのファイバー方向の座標に関するフーリエ級数と一致することが分かった．このことは，もし一般の場合にこのようなBSファイバーの十分近くにサポートを持つある切断を一般の場合にも見つけることができれば，これからSpin-c Dirac作用素の指数の基底で断熱極限をとるとサポートがBSファイバーに集中するようなものが得られることを示唆する．これを踏まえて，小平-Thurston多様体の場合に同様のことを考察した．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
家庭の事情で恐縮だが，一歳の第二子の病気の対応に追われた為。
|
| Strategy for Future Research Activity |
2016年度はまず初年度に得られた指数の基底の元の円周の普遍被覆への引き戻しを考察し，各BSファイバーの十分近くにサポートを持つある切断が存在し，この切断を円周の基本群作用に関して平均をとったものが基底の元の引き戻しのファイバー方向の座標に関するフーリエ級数と一致することが分かった．このことは，もし一般の場合にこのようなBSファイバーの十分近くにサポートを持つある切断を一般の場合にも見つけることができれば，これからSpin-c Dirac作用素の指数の基底で断熱極限をとるとサポートがBSファイバーに集中するようなものが得られることを示唆する．
これを踏まえて，昨年度に引き続き，小平-Thurston多様体の場合にSpin-c Dirac作用素の核の元の断熱極限の考察を続け，2次元トーラスの考察で得られた結果の一般化を試みる．
これと平行して，Lagrangeファイバー束の断熱極限の下で，曲率作用素のClifford縮約の固有値の正値性とBSファイバ－との関係を考察する．これは，一般にSpin-c Dirac作用素の核の元を具体的に求めるとは困難であると思われるので，そのための対応策である．
|
| Causes of Carryover |
一歳の第二子の病気の対応に追われた為，宿泊を伴う出張，特に海外出張が困難であった．
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
第二子の成長により病気になりにくくなってきていることと，不在時の子育てサポート体制を整えることにより，宿泊を伴う出張が少しずつ可能になって来ると思われるので，国内外の研究集会や国際会議へ積極的に参加し，情報収集，研究成果の発表を行う．
|
