2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K04877
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
神山 靖彦 琉球大学, 理学部, 教授 (10244287)
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2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 計算機 / ロボット運動 / 多角形のモジュライ空間 / 球面 / 大円距離 / 直角 / モース理論 / オイラー標数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ロボットの姿勢をどの程度連続的に変えることができるかについては、工学での運動学の分野で古くから研究されてきた。1990年代に入り、ロボット運動の配置空間を幾何学の視点から精密に研究しようという試みが始まった。特に有名なロボットとして等辺多角形のモジュライ空間が挙げられる。これは、一つの棒のコピーを複数本用意し、ユークリッド空間の中でつなぎ合わせて得られる形全体を考察することを目的とする。注意したいのは、上記の多角形はユークリッド空間という平坦な空間内での多角形であるということである。
今年度は球面における等辺多角形のなすモジュライ空間を考察した。つまり、多角形の頂点は球面上にとり、2点間の距離は大円距離にとる。球面は曲がった図形なので、モジュライ空間の研究はユークリッド空間に比べ遙かに難しい。一方で、得られる成果は従来にない非常に斬新なものである。今年度の研究成果は次の2つである。
1. ユークリッド空間における等辺多角形のモジュライ空間の様子は、等辺の長さに依存しないことは容易に分かる。一方、球面における等辺多角形のモジュライ空間の様子は、辺長に著しく依存することが予想される。今年度の第一の研究成果として、球面における等辺5角形のモジュライ空間の様子を完全に決定した。そのためにモース理論を活用した計算を行う必要があり、今年度購入した計算機を駆使した。
2. 球面における任意辺数の等辺多角形の様子は困難を極め、未解決である。その問題へのアプローチとして、原点から隣接2点へのベクトルのなす角度が直角である場合を考察した。これは球面多角形の中で典型的な場合である。今年度の第二の成果として、このモジュライ空間のオイラー標数を決定した。任意辺数という事情もあり、計算機による証明は現時点では不可能である。そのためホモトピーコリミットという代数トポロジーの手法を駆使した考察を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「10. 研究発表」における１番目の論文はオープンアクセスの雑誌に出版済みであり、多くの幾何学者に注目されている。今年度はそれ以外に２本の論文を査読付国際誌に出版した。
また、前年度の研究成果「A polynomial with coefficients in certain elementary symmetric polynomials」を「14. 備考」の欄に書いたResearchGateに掲載したところ、多くの数学者に閲覧されている。特にサンクトペテルブルク研究所のPanina教授から非常に興味深いと連絡を受けた。この論文は彼女の論文に引用され、一般化を考察された。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度に引き続き、球面における等辺多角形のモジュライ空間を研究する。今後の課題は次の2つである。一つ目は「5. 研究実績の概要」における項目1の一般化である。つまり、任意の等辺多角形のモジュライ空間の形状は原点から隣接2点へのベクトルのなす角度がどういう場合に変化するかということの決定である。モース理論により正解を予想することが解決への第一歩となると予想され、そのために計算機による計算が不可欠である。二つ目は今年度の研究実績の概要における項目2の一般化である。原点から隣接2点へのベクトルのなす角度が直角の場合にオイラー標数は分かったが、ホモロジー群を決定することを目標とする。
得られた研究成果をまとめた論文を2018年度中に完成させる。一定レベルの国際誌に投稿し、出版受理されるところまで進めたい。また、「7. 現在までの進捗状況」で触れたPanina教授とは研究内容が近いので、互いの発展のため今後も連絡を続けたい。
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| Causes of Carryover |
（理由）2017年9月3日～4日に東京大学での研究集会に出席したが、予定より若干安い航空券が購入できたため。
（使用計画）次年度の旅費の一部として、合わせて使用する。
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| Remarks |
ResearchGate
https://www.researchgate.net/profile/Yasuhiko_Kamiyama
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