群が作用するCAT(0)空間のBorel予想とNovikov予想に関連する研究

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04885
• Research Institution: 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群)
• Principal Investigator: 知念 直紹 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工, 総合教育学群, 教授 (20370067)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 保坂 哲也 静岡大学, 理学部, 准教授 (50344908)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 幾何学的群論 / 連続体論 / CAT(0)群 / 半直積 / 対象積 / 等長群 / 有限位相空間 / 逆極限

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、幾何学的群論において重要な群である無限離散CAT(0)群の研究である。特に、CAT(0)群の幾何的に作用するCAT(0)空間の位相的性質あるいは Gromovが提案したCoarse的な性質の研究である。当該年度はNovikov予想に関連があるasymptotic次元の有限性の研究に従事した。3月に実施された早稲田大学での幾何学的トポロジーの研究集会において、アメリカ・テネシー大学のDydak氏による最新のCoarse幾何学の連続講演に触れ、さらに愛媛大学の山内氏よる別の視点からみた無限asymptotic次元を持つCoarse空間の講演に触れ、逆に無限asymptotic次元を持つ空間の性質を研究することによってasymptotic次元の有限性の研究に生かした。またその研究集会において、すべての連続体はある有限位相空間の逆極限とホモトピー同値であることを発表した。CAT(0)空間の理想境界は連続体であることから、この結果はCAT(0)群となんらかの関係があると予想される。
CAT(0)空間の基礎的あるいは代表的な空間であるユークリッド空間Eの無限等長群を研究することは無限CAT(0)群を研究することにおいて重要である。Eの等長群からEの有限対称積の等長群への自然な同型写像があることを昨年度示した。もっと一般に、ある性質Pをもつ距離空間Xについて、Xの有限対称積の等長群はあるその部分群とXの等長群の半直積と同型になることを示した。つまり、Eはこの性質Pをもち、その部分群が自明であることを示した。さらに、ユークリッド空間の距離を変更した典型的なよく知られているノルム空間について調べ、この有限次元ノルム空間は性質Pをもち、その有限対称積の等長群を決定した。一部の無限次元も同様な結果が得られたが、その他の無限次元ノルム空間はいまだに解決には至っていない。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

本研究目的の１つである、CAT(0)群の幾何的に作用するCAT(0)空間の位相的次元の有限性について、Osajdaで得られたランダムグラフの手法の研究を行ったが、ほとんど成果を得ることができなかった。モンスター的な無限グラフとasymptotic次元の関連は、無限グラフの解析の困難さに深く関わっているのが原因と思われる。しかし、さらにNovikov予想と関連あるasymptotic次元の有限性あるいは無限性の研究を行い、否定的な結果を導くための方法としてランダムグラフの方法、アメリカ・テネシー大学のJerzy Dydak氏による最新のCoarse幾何学の方法、あるいは愛媛大学の山内氏よる方法の解析を実施した。さらに、理想境界を連続体として考えて、連続体と有限位相空間の逆極限との関連を研究し、すべての連続体はある有限位相空間の逆極限とホモトピー同値であることを示した。
本研究のもう１つの目的である、CAT(0)群であるコクセター群が幾何的に作用するCAT(0)空間の理想境界の研究おいて、理想境界が2次元局所1連結コンパクト距離空間となる双曲直角コクセター群の構成の考察の研究が遅れている。理想境界の次元を１つあげることと局所１連結であることを同時に満たすものを構成するのが難しいが、先に次元を１つあげることを目標とした。一般的なコクセター群ではないが、理想境界の次元をあげるための１つの方法として、群の半直積に関する研究を静岡大学の保坂氏と共同で進めた。

Strategy for Future Research Activity

ランダムグラフの方法、アメリカ・テネシー大学のJerzy Dydak氏による最新のCoarse幾何学の方法、あるいは愛媛大学の山内氏よる方法を足がかりにして、次年度は有限生成離散群が幾何的に作用するCAT(0)空間の位相的次元の有限性ついて研究を実施する。また、保坂氏との共同研究の群の半直積とCAT(0)空間の関係の研究を推進する。特に、そのときのCAT(0)空間のHigsonコンパクト化の剰余の位相的次元、あるいはそのCAT(0)空間のasymptotic次元との関係性を調べる。また、CAT(0)空間の理想境界を有限位相空間達の逆極限と見なした場合のこの有限位相空間達と群作用の関係、あるいはこの有限位相空間達とCAT(0)空間のある固定した中心点の球面の列とのCoarse的関係を解析する。
無限次元ヒルベルト空間へのCoarse的な埋め込みはNovikov予想と深い関係があることが知られているが、無限次元ヒルベルト空間の等長群の部分群を調べることは重要である。そのために、無限次元ヒルベルト空間の等長群とこのノルム空間の有限対称積の等長群との差を調べる。
上述の推進方策を実行するために、引き続きCAT(0)群とCAT(0)空間の構成について静岡大学の保坂哲也氏と主に共同研究を行い、CAT(0)空間の位相的次元とasymptotic次元については早稲田大学の小山晃氏と主に共同研究を行う。また、早稲田大学幾何学セミナーにおいて、群や局所有限無限グラフあるいは位相空間のCoarse的性質に関して最新の結果を理解し活用していく。

Causes of Carryover

身内の長期の体調不良と不幸があり、思うように計画が立てられなくなり、研究集会・会議に参加できなかったため、当初計画していたことが実行できなかった。

Expenditure Plan for Carryover Budget

6月の京都大学数理解析研究所で実施される位相空間論関係の研究集会、8月の札幌大学で実施予定の国際会議「Applied Algebraic Topology 2017」と11月の韓国の釜山で実施予定の国際会議「The 2nd Pan Pacific International Conference on Topology and Applications」に参加する予定である。また、現在、大学の業務と研究とを区別しないで１つのパーソナルコンピュータを使用しているので、研究専用のパーソナルコンピュータとその周辺機器を購入予定である。