2017 Fiscal Year Research-status Report
非線形ディラック方程式に対するモース・フレアー理論
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15K04947
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
磯部 健志 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (10262255)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | モース理論 / モース・フレアーホモロジー / ディラック方程式 / ディラック・測地線 / ディラック・調和写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は昨年度からの継続で、ディラック方程式に関するモース・フレアータイプのホモロジーを研究した。昨年度終了時点で既に結果を出していた、漸近的に線形な場合の非線形ディラック方程式に対するモース・フレアーホモロジーの構成と計算に関する論文を今年度中に書き上げて投稿した。また、共同で進めていたディラック・測地線に関するモース理論の研究では、昨年度の時点で見つかっていた横断正則性の証明の不備を修正して完成し、プレプリントサーバーに投稿した。この論文では、３次あるいは優３次の非線形項を持つディラック・測地線に対してモースホモロジーの構成と計算法を与え、応用としてディラック・測地線の存在定理をいくつか証明した。
さらに今年度は、ディラック・調和写像の研究にも着手した。この問題は、強不定値性と非コンパクト性という無限次元特有の困難を両方とも兼ね備えた変分問題であり、現時点において一般的な解の存在定理は知られていない。問題が変分的に自然に定式化されるため、変分法を用いた一般的な存在定理の確立が望まれている問題である。この問題解決への手がかりを探るために、今年度はターゲットが平坦トーラスという比較的単純な場合を詳しく研究した。今年度の研究において、ターゲットが平坦トーラスでかつ非線形項が優２次である場合には、解の存在と解の個数の下からの評価を与えることができた。これは１次元の場合であるディラック・測地線の場合に対しても新しい結果を与えるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
滞っていたディラック・測地線に対するモース理論の論文をひとまず完成させたことと、ターゲットが平坦トーラスという特殊な場合ではあるが、ディラック・調和写像の存在定理を変分法を用いて与えたことから、研究は概ね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度は、今年度得たディラック・調和写像の存在定理に関する論文を書き上げることを第１の目標とする。また、継続してディラック・調和写像の変分法的側面、特にモースホモロジーの構成を考察する予定である。
ディラック・調和写像と類似の変分構造を持つ重要な変分問題が他にもいくつかあるので、これらの問題に対してもこれまでに開発してきた方法を適用しつつ新しい問題にも挑戦していく計画である。
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