2018 Fiscal Year Research-status Report
非線形ディラック方程式に対するモース・フレアー理論
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15K04947
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
磯部 健志 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (10262255)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ディラック方程式 / モース・フレアー理論 / 臨界点理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は、様々なディラック型の方程式に対するモース・フレアータイプのホモロジーの構成とそれを用いたディラック型方程式の解空間の構造の研究である。ディラック方程式に付随する変分問題は無限次元特有の2つの困難である非コンパクト性と指数無限大の問題を両方とも兼ね備えた問題であるため、応用面だけではなく、理論的にも興味深い研究対象である。本年度は、昨年度から引き続きディラック・測地線のモースホモロジーの構成と応用、およびディラック・調和写像の存在問題を研究した。ディラック・調和写像（およびその特別な場合であるディラック・測地線）は場の理論における超対称性シグマ模型の数学モデルであり、その変分法的な観点からの数学理論は（特に存在問題に関しては）多くの部分が未開発のままである。
本年度は昨年度行なったディラック・測地線のモースホモロジーの構成中にあった不備の一部を修正した。また、昨年度から開始したトーラスに値をとるディラック・調和写像の存在に関しても、本年度も引き続き研究を行なった。優２次の非線形項をもつディラック・調和写像の存在問題については、本研究年度中に論文としてまとめ上げて、現在専門誌に投稿中である。また今年度は非線形項が漸近的に２次であるディラック・調和写像の存在問題にも着手し、この場合に適用できる臨界点理論を展開することで、トーラスのトポロジーだけに依存する解の個数の下からの評価を与えることに成功した。これはハミルトン系の周期解の存在問題におけるアーノルド予想の類似を与えるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ディラック・調和写像の存在問題に関しては進展があったものの、ディラック・測地線のモース理論に関してはホモロジーの計算の際に必要となるモジュライ空間のコンパクト性に関して予期していなかった困難が新たに見つかったため、予定より研究が遅れている。そのため、全体としてやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
ディラック・測地線のモース理論に関しては、今年度問題が見つかったホモロジーの計算方法とは別の計算方法をいくつか試みることで、次年度以降も引き続き研究を続ける計画である。またディラック・調和写像に関しては、今年度得た結果を論文の形に仕上げて、その後モースホモロジーの構成および応用を研究する計画である。また、これらの研究に関連したディラック型方程式のモース理論の研究にも着手する予定である。
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