2019 Fiscal Year Annual Research Report
Morse-Floer theory for nonlinear Dirac equations
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15K04947
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| Research Institution | Hitotsubashi University |
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Principal Investigator |
磯部 健志 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (10262255)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ディラック方程式 / ディラック・調和写像 / モースホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、次の (i), (ii) の研究を行った。
(i) 非線形項がスピノル場に関して無限遠方で２次式的に振る舞う漸近2次の場合のディラック・調和写像の解空間の大域的構造を、ターゲットが平坦トーラスの場合に研究した。非線型項が非退化の場合には解空間がコンパクトであることを証明し、解の個数の下からの評価を与えた。
(ii) ディラック・測地線に付随するモース・フレアー型のホモロジーの構成および計算を昨年度から引き続き行なった。非線型項がスピノルに関して3次以上の増大度を持つ場合には、昨年度までの研究でホモロジーの構成を完成していたが、その具体的な計算は持ち越していた。本年度は、ホモロジーの計算に必要なフローの空間のコンパクト性を証明し、ホモロジーに収束するスペクトル系列を構成することで、あるクラスの多様体に対してホモロジーを計算することに成功した。
本研究の目的はディラック型方程式に関するモース・フレアーホモロジーの構成およびその計算方法を確立することであった。研究期間内ではその他に次の研究を行った： (1) コンパクト多様体上のディラック型方程式に対するモースホモロジーの構成および計算を実行し、非線型項が優2次および2次の場合でホモロジーの性質が異なることを見出した。(2) ディラック・測地線のモース・フレアーホモロジーの構成と計算を行い、本年度の成果と合わせてこの研究をひとまず完成した。(3) 平坦トーラスに値をとる優2次の非線型項を持つディラック・調和写像の存在定理の証明を行った。
ディラック型方程式は物理や幾何において基本的な偏微分方程式であるが、本研究では一般的な状況下でディラック型方程式のモースホモロジーの構成と計算を実行した。この研究によってこのクラスの方程式の大域的構造の理解に貢献できたと思う。
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Research Products
(5 results)
