Morse-Floer theory for nonlinear Dirac equations

2019 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 15K04947
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Mathematical analysis
• Research Institution: Hitotsubashi University (2017-2019); Tokyo Institute of Technology (2015-2016)
• Principal Investigator: Isobe Takeshi 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (10262255)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: モース理論 / モースホモロジー / ディラック方程式 / ディラック・調和写像 / ディラック・測地線

Outline of Final Research Achievements

I studied nonlinear Dirac type equations defined on manifolds. In particular, I investigated the following questions: i) Do equations have any solutions? ii) How the global structure of the space of solutions depends on the geometrical structure of the manifolds and the nonlinearity of the equations. As for i), I proved the existence theorems of nonlinear Dirac equations, Dirac-geodesics and Dirac-harmonic maps into flat tori. As for ii), I have constructed and calculated Morse homologies for nonlinear Dirac equations and clarified how the global structure of the set of solutions depends on the nonlinear terms.

Free Research Field

大域解析学、幾何解析、変分問題

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

非線形ディラック方程式は幾何学や物理学において基本的な役割を果たしてきている重要な方程式である。本研究では、コンパクト多様体上の非線形ディラック方程式の解空間の大域的な構造を研究した。特に、方程式に対応する変分問題のモースホモロジーを定義し、ホモロジーの計算を実行した。主結果は、方程式のモースホモロジーは非線形項のホモトピー不変量として決まるというもので、これにより解空間の大域的な定性的・定量的な性質をホモロジーという代数的な量で捉えることができるようになった。