2017 Fiscal Year Annual Research Report
Studies on mathematical structure of boundary value problems appearing in hydrodynamics and magnetohydrodynamics
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15K04957
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
柳沢 卓 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30192389)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 調和ベクトル場 / Hodge分解 / 境界値問題 / Navier-Stokes方程式 / MHD方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.外部領域上のr乗可積分な調和ベクトル場全体のなす空間について以下の結果を得た（以下，rはつねに1より大きい実数とする）：(a)境界上でベクトル場が接線方向成分しかもたない場合，及び法線方向成分しかもたない場合，どちらについても外部領域上のr乗可積分な調和ベクトル場のなす空間は有限次元となる．(b)境界上でベクトル場が接線方向成分しかもたない場合，外部領域上のr乗可積分な調和ベクトル場のなす空間の次元は，領域の第2Betti数に等しい．(c)境界上でベクトル場が法線方向成分しかもたない場合，外部領域上のr乗可積分な調和ベクトル場のなす空間の次元は，rが3/2より大きい時は領域の第1Betti数に等しい．一方，rが3/2以下の時は，その次元は第1Betti数-1に等しい．以上の結果により，外部領域上の調和ベクトル場全体のなす空間に対しても，領域の位相的不変量による特徴付けが完全に与えられたことになる．今後，この知見を基に，外部領域上のHodge分解定理の提出とその外部領域上のNavier-Stokes方程式への応用等の研究に行っていく予定である．これらの研究は，小園英雄氏（早大），清水扇丈氏（京大），Matthias Hieber氏，Anton Seyfert氏（Darmstadt工科大学）との共同研究による．
2. 昨年度得たMHD方程式の非斉次境界条件下での定常解の存在と安定性に関する結果において，透磁率は零と出来ることを確認した．しかし，粘性係数あるいは磁気抵抗係数を零にした場合における明確な結果を得ることは出来なかった．
3．流体力学における特異摂動極限問題に関する奈良女子大学PDEセミナーを平成30年2月7日に行い，新たな知見を得た．
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