2017 Fiscal Year Research-status Report
周期的およびランダムな磁場付きシュレディンガー作用素のスペクトル
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15K04960
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| Research Institution | University of Hyogo |
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Principal Investigator |
野村 祐司 兵庫県立大学, 物質理学研究科, 教授 (40282818)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | シュレーディンガー作用素 / スペクトル / Aharonov-Bohm磁場 / 埋め込まれた固有値 / Persistent多様体 / 閾値レゾナンス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2017年に Ann. Henri Poincare に掲載された論文「Schroedinger operators with random \delta magnetic fields」では、2次元ユークリッド平面上の位置と磁束についてランダムなAharonov-Bohm磁場をもつシュレーディンガー作用素のスペクトルについて、それを集合として決定し、さらにスペクトルの下端における累積状態密度関数の特異な漸近挙動、いわゆるLifshitz tail と呼ばれる挙動を示した。この現象はAnderson局在と呼ばれる稠密な固有値の存在および固有関数の指数関数的減衰と関係していると考えられており、それに向けての研究、特に Wegner 評価が成立するかについて研究を続けている。また論文の結果について「偏微分方程式姫路研究集会」で発表をした。
2016年にLett. Math. Phys. に掲載された論文「On the number of discrete eigenvalues of a discrete Schroedinger operator with a finitely supported potential」において、d次元格子および正則無限ツリー上の有限ポテンシャルをもつ離散シュレーディンガー作用素の離散固有値の個数を表示する公式を示した。ここで得られていた公式をさらに拡張することができ、それを援用しながら連続スペクトルに埋め込まれた固有値、閾値レゾナンスをもつポテンシャルの全体の集合（Persistent多様体）を決定しその幾何学的な構造と元の作用素のスペクトルとの相互関係について研究を進めることができた。それの部分的な結果をRIMS研究集会「関数不等式の最良定数をその周辺」、「学習院大学スペクトル理論セミナー」、「第24回超局所解析と古典解析」で発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
d次元格子上の有限ポテンシャルをもつ離散シュレーディンガー作用素の離散固有値の個数を表示する公式をさらに拡張して証明することができ、それを援用しながら連続スペクトルに埋め込まれた固有値、閾値レゾナンスをもつポテンシャル全体の集合をPersistent多様体（集合）と名付け、その幾何学的構造と元の作用素のスペクトルの関係の研究が進行しているからである。特に、次元による相違点や閾値レゾナンスに関する状況、特異点と多重度との関係等について進展が見られた。またそれらの結果の一部をRIMS研究集会「関数不等式の最良定数をその周辺」、「学習院大学スペクトル理論セミナー」、「第24回超局所解析と古典解析」で発表することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
d次元格子上の有限ポテンシャルをもつ離散シュレーディンガー作用素の離散固有値の個数を表示する公式をさらに拡張して証明することができたが、これも利用して連続スペクトルに埋め込まれた固有値、閾値レゾナンスをもつポテンシャル全体の集合であるPersistent多様体（集合）の幾何学的構造と離散固有値の分布や、Persistent多様体の特異点と埋蔵固有値の多重度の関係、また次元による閾値レゾナンスの出現の構造についてより精緻に研究を推進していきたい。
2次元ユークリッド空間における磁場付きシュレーディンガー作用素のレゾルベントのスペクトルの下端における挙動と時間の入ったシュレーディンガー方程式の解の減衰についても研究していく。
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| Causes of Carryover |
年度内に予定していた出張が学内行事のために行えなかったため。
旅費または物品費として適切に使用する計画である。
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