2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K05203
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
笹本 智弘 東京工業大学, 理学院, 教授 (70332640)
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2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非平衡揺らぎ / 揺らぐ流体力学 / 排他過程 / ランダム行列 / 頂点模型 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、まずH28年度にq-TASEPと呼ばれる特別なモデルに対して行った定常状態における揺らぎの研究を、高スピン頂点模型と呼ばれる一般性の高いモデルに対して拡張することを進めた。q-TASEPの場合と比較し、モデルとGelfand-Tsetlinパターンとよばれるものとの関連が直接的でなくなるというような問題点があったが、いくつかの新しいアイディアを用いて解析が可能となった。特別な場合として、q-Hahn過程と呼ばれるモデルや、指数型ジャンプモデルの定常状態についても解析が可能となった。現在論文を準備中である。またH28年度のq-TASEPに対する結果は、モーメントの発散を避けるためにRamanujan公式と呼ばれる和公式を用いたものであったが、複素積分を用いた別法を考案したので論文にまとめた。
また、これまでの研究はほぼ粒子の種類が１成分のモデルに限られていたが、Arndt-Heinzel-Rittenberg(AHR)モデルとよばれる２成分排他過程モデルに対する解析を行うことに成功した。まず、ベーテ仮説と呼ばれる手法で時間発展に関する固有関数を構成し、初期条件を満たすように重ね合わせる事でグリーン関数に対する多重積分表示を得た。それを用いて、原点より左側には+粒子が一定密度で存在し、右側には-粒子が詰まっているような初期条件の場合に、時刻tにおける原点でのカレントの分布に対する多重積分表示を得た。さらに漸近解析を行う事により、適切なスケーリングの下で分布がガウス分布とGUE型Tracy-Widom分布の積となることを示した。これは揺らぐ流体力学と呼ばれる有効理論の有効性をミクロなモデルから示した初めての例である。この結果については論文を投稿中である。
他には、２つの量子ドットの平均粒子数、カレントの時間に依存する性質を調べる研究も行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
H29年度は、H28年度にq-TASEPという特別なモデルに対して得られた定常状態における結果を、より広いクラスのモデルに対して一般化するということを目標に挙げていたが、それはほぼ達成出来たと考えている。重要な特殊な場合や他の手法との関連に関する理解も深まっており、今後他の初期条件や多点分布を考察してゆく際に有用であると期待される。さらに当初の予定ではH30年度の研究実施計画に書いていたAHRモデルと呼ばれる２成分排他過程の解析に関してH29年度中に最初の結果を得る事が出来、この点はむしろ当初の予定より進んでいるとも言える。この研究は、ミクロな系の揺らぎを調べるというだけではなく、揺らぐ流体力学と呼ばれる別の理論の検証にも有効であり、対応関係のより詳細な理解に有用であると期待される。一方でH28年度末の時点で計画していた対称排他過程に関する研究は、思うように進めることができておらず、その意味で予定より遅れている面があることも事実である。
本研究課題の基本的な目標は、非平衡可積分模型の解析をなるべく一般的な形で行うというというものであったが、その観点から見れば、かなりの進展が得られており、全体としては概ね順調に進展しているといってよい。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずはH28年度、H29年度に得られた結果を発展させる研究を進める。１成分系の揺らぎの性質の研究に関しては、高スピン頂点模型の定常状態揺らぎに関する論文を完成させたのち、他の初期条件の考察や、行列式構造についての理解を深める事が重要であると考えている。他の初期条件としてはまず平坦初期条件を検討する。この場合対称性の異なった特殊関数を用いる事が有効であると期待される。行列式構造については、最近q-Whittaker関数に関する和公式とフェルミオンの関係についての理解が深まったので、それを応用できないか検討する。
また、多成分系の揺らぎについては、まずはH29年度に得たAHR模型に関する結果を深め、本論文を書き上げることを行う。同時に、H29年度で結果が得られたのは、モデルのパラメータや初期条件がかなり特殊な場合のみであるので、種々の一般化を考察する。さらにSU(N)対称性を持つ別の多成分模型でも同様な解析が可能であるか、検討を進める。これまでの研究はほぼ１成分系に対するもののみであったため、多成分系への拡張は有望な方向性である。
それ以外に、対称排他過程の揺らぎの大偏差に関する研究も進めたい。初期条件依存性、巨視的揺らぎの理論との関係を深めることで、より一般性のある理論にまで発展させる。また、量子系との関係も期待されるところであるため、そのような観点からの検討も進めたい。
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| Causes of Carryover |
(理由) 平成29年度は、いくつかの国際会議や共同研究への出張旅費での使用を予定していた。特に自身が組織委員を務めたオーストラリアにおける滞在型研究プログラムに参加するための旅費がかなりの高額となると予想されていたが、滞在費が先方負担となったという事情があり、使用額が当初の予定より減った。また本研究の補助を行っている学生の研究の進捗が当初より遅れたため、その成果発表のために使うことを検討していた分の資金を次年度に繰り越すこととした。
(使用計画) 研究代表者は7月にロシア、カナダ、２月にはインドへの国際会議に参加すること、また共同研究を進めるためにイギリス、フランス等を訪問することを計画している。さらに学生の成果発表のための論文掲載料、学会発表のための旅費にも使用する予定であり、平成29年度から平成30年度に繰り越した分の額以上は使用する計画が既に決まっている。
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