2015 Fiscal Year Research-status Report
接続とHiggs束のモジュライ空間とスペクトル曲線
| Project/Area Number |
15K13427
|
|---|
| Research Institution | Kobe University |
|---|
Principal Investigator |
齋藤 政彦 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80183044)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | 放物接続 / ヒッグス束 / 見かけの特異点 / モジュライ空間 / ラグランジアン束 / 幾何学的ラングランズ対応 / スペクトル曲線 / BNR理論 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
平成２７年度は，代数曲線上の確定・不確定特異点を許す放物ヒッグス束や放物接続のモジュライ空間の構造を解析するために、S. Szaboとの共同研究で導入した見かけの特異点とその双対座標の理論を精密化した．特に, 既約なヒッグス束や接続とそのベクトル束 E の正則切断の組に対して, 自然な部分束 F が定義され0 ->F ->E -> E/F ->0という代数曲線上の層の完全列ができ, ねじれ層であるE/Fの台として, 見かけの特異点がとらえられる事がわかった．さらに放物ヒッグス束の時は，Beauville-Narasimhan-Ramananの理論より，ヒッグス束のスペクトル曲線とその上の因子（または直線束）の情報と、もとのヒッグス束の情報が同値であり, そのことから重複度を含んだ形で見かけの特異点とその双対座標が定義できた．そしてヒッグス束のモジュライ空間がもとの直線上のある直線束の点のヒルベルト概形と双有理同値であることが示せた．一方、放物接続のモジュライ空間においては, 接続の微分の部分の影響があり標準的にはスペクトル曲線が定義出来ないので記述は複雑になるが，ある種のテクニックを使って乗り越えられそうである．また接続やHiggs束のモジュライ空間は自然な正則シンプレクテック構造を持つが，モジュライ空間から，その下部構造である放物束を対応させる事により，モジュライ空間からその半分の次元のモジュライスタックへの写像が定まり, ファイバーもラグランジアンになる．一方、見かけの特異点の定めるモジュライ空間から，代数曲線の対称積への写像も定義されるがこの写像のファイバーもラグランジアンになる事がわかる．ヒッグス束のモジュライ空間上のスペクトル曲線のヒッチン系の幾何を解析する事により, 放物接続や放物ヒッグス束の確定特異点・不確定特異点の情報がある程度得られることが分かった．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
おおむね順調に進展している．
平成27年度においては，BNR理論による理解が進み，ヒッグス束の場合には、見かけの特異点が重複ある場合も問題なくカバー出来る理論ができた事は大きな進展あり、双対座標の内在的な理解にもつながった．接続の場合に，モジュライ空間上局所的には，微分の影響を排除して，ヒッグス束の場合に帰着する事ができるはずである．接続のモジュライ空間とヒッグス束のモジュライ空間の大域的なずれを記述する事が今後の問題となる．また, スペクトル曲線の幾何学の重要性を認識できたのも大きな進展であった．特に，スペクトル曲線族の特異点解消と不確定特異点の理論の関係に着目できた．
|
| Strategy for Future Research Activity |
上記の研究の進展を受けて，放物ヒッグス束や放物接続のモジュライ空間の構造を精密に調べる事が可能になると期待される．
現在ポスドクや修士２年の学生が幾何学的ラングランズ対応と圏論的ミラー対称性の関係に興味を持っており、その観点からの放物ヒッグス束や放物接続のモジュライ空間の構造の解析を行いつつあり，今後彼らとの共同研究，また台湾や韓国の研究者およびS.Szaboらとの共同研究をしながら研究を進めていく．
|
| Causes of Carryover |
平成２７年度にハンガリー，ブダペスト大学のS.Szaboを訪問し，見かけの特異点の理論を共同研究する予定であったが，研究代表者の大学の仕事がスケジュールと，S.Szabo氏のスケジュールが合わず訪問できなかったので計上していた外国旅費を使用できなかった．
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２８年度は，計上していた外国旅費を使用して，ブダペスト大学のS.Szabo氏を訪問する予定であり，その旅費および滞在費として使用する．またそれ以外にも韓国でのヒッグス束の幾何についての研究集会において連続講演に招待されているので，航空券のサポート等に使うつもりである．
|
