2017 Fiscal Year Annual Research Report
Moduli spaces of connections and Higgs bundles and Spectral curves
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15K13427
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
齋藤 政彦 神戸大学, 数理・データサイエンスセンター, 教授 (80183044)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 可積分系 / パンルヴェ型方程式 / モジュライ空間 / 見かけの特異点 / 幾何学的ラングランズ対応 / リーマン・ヒルベルト対応 / モノドロミー保存変形 / フーリエ・向井変換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数曲線上の放物接続や放物Higgs束のモジュライ空間の代数幾何学的構造の研究を行い、次の成果を得た。
１．確定特異点のスペクトル型を固定したときの、安定放物接続のモジュライ空間を、非特異シンプレクテック代数多様体として定義し、その次元公式を各特異点の留数行列の固有値の重複度で書き表した。
２．上記１の場合にモノドロミー保存変形に関する微分方程式の幾何学的パンルヴェ性を示した。
これらの結果は、日本数学会から2018年に出版予定である。
３. 齋藤とSzaboは、特異接続およびHiggs束に対する見かけの特異点理論を開発し、モジュライ空間の詳細な構造を記述する方法を開発した。現在論文を準備中である。この理論は、Higgs束の場合に、Higgs束とベクトル束の非零正則切断の組のモジュライ空間と、スペクトル曲線とその上の有効因子の対が同値であるというBeauville-Narashimhan-Ramananの理論によって完全に説明できることが示された。この結果から、特異接続およびHiggs束のモジュライ空間は、代数曲線上の線職曲面のブローアップの点のヒルベルト概形と双有理である事が容易に説明でき、可積分系の変数分離の原理に幾何学的な説明をつける事が出来る。また、モジュライ空間から、ヒルベルト概形への写像は、高次アーベル屋媚写像としても理解できるが、その像を決定する事が問題となる。研究代表者および本科研費で雇用した特命助教光明によって、射影直線上の階数２、5点の確定特異点を持つ場合のモジュライ空間の詳細な記述がなされた。これについては、投稿受理され2018年度以降に論文が出版される予定である。
４. ３における射影直線上の階数２、5点の確定特異点を持つ場合のモジュライ空間の詳細な記述を用いて、幾何学的ラングランズ対応をフーリエ・向井変換として実現するという研究が進んでいる。
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Research Products
(9 results)
