2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K13452
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
大本 亨 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20264400)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 特異点判定の応用 / 局所射影微分幾何 / 幾何的代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２８年度は主に以下のテーマについて研究を進めた．（１）２７年度に射影空間内における曲面のモンジュ形式の射影変換による局所分類（アーノルド・プラトノーバの分類の拡張）を与えたが，今回はその１および２パラメータ横断的族の標準形を解析して，放物曲線およびフレクノード曲線の分岐について詳細に調べた．古典的題材にも関わらず，標準形や分岐図式など新しい結果が得られた．本国およびブラジルの若手研究者達と共著に纏めて投稿中である．（２）上記（１）で開発した手法を線織面と可展面のモンジュ形式に適用した．余次元０（一般的な点のまわり）では１世紀以上前のダルブー・ヴィルチンスキの標準形があるが，これを刷新し拡張して余次元３までの標準形を与えた．フレクノード曲線の幾何として面白い発見があった．論文準備中．（３）幾何的代数（＝クリフォード代数）を用いて３次元ユークリッド空間内の線織面と可展面の特異点を解析した．双曲率と双捩率を用いて線織面の標準的計数付けを与え，これに写像のA-分類を適用することで既存の結果を見通しよく一般化した．この手法は，ロボティクスに現れる種々の運動軸が生成する線織面の特異性解析や点クラウドの線織面による近似や補間などの工学的応用幾何に使える．学生と共著．（４）院生と進めていたトム多項式理論の応用に関するプロジェクトの論文を完成させた（２編が掲載受理）．射影曲面に関するサロモン・ケーリー・ツォイテンの古典的結果を刷新し，さらに３次元長曲面に関するロス・セベリ・セグレの結果を詳細に一般化した．これは複数のカメラを配する多重ポーラー応用幾何に繋がる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一昨年度から継続して進めていた射影曲面の話題は順調に進展した（上記（１，２））．さらにクリフォード代数を用いた「直線の微分幾何」を特異点論の立場から再構築し，線織面，可展開面，線叢の特異点に関する応用研究のプランにおいて，最初の基礎部分が思いのほか上手く解決した（上記（３））．一方，当初案にある特異点判定法の基礎付けや動力学機構への応用については，見通しがついているがそれを十分に進めるには時間が足りなかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度では，射影曲面の微分幾何・特異点に関する海外の専門家と研究連絡をとり，我々の手法を総括しさらに深化させたい．また，理論的な数理工学・物理学で使われるクリフォード代数を用いた「直線の微分幾何」において，我々の特異点解析は新しい研究方向であって有望と思われる．この実際的な応用の検討を始める．特異点判定法の基礎付けやアファイン代数幾何の動力学機構への応用についても結果を纏めて行く．
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