2015 Fiscal Year Research-status Report
計算機数論による楕円曲線とモジュラー形式の保型性の研究
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15K17515
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
横山 俊一 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 助教 (90741413)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | モジュラー形式 / 楕円曲線 / 保型性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、全研究課題のうち特にモジュラー形式に関する研究活動を行った。具体的には以下の2つである。
まず、最終目標である前田予想（モジュラー形式と、Hecke 体に関する素数の分岐に関する予想）への取り組みに先立ち、楕円モジュラー形式およびその一般化モジュラー形式に関する計算理論の整備、およびその実装に関して研究を進めた（竹森翔氏（北海道大学）と共同）。ここでは Edixhoven-Couveignes の手法に従う楕円モジュラー形式の高速計算理論における、直近5年程の進展状況を踏まえ、数式処理システムにおける実装を進めている。特に Hecke 体の構成については計算量が一般に高く困難であるが、およそ重さ100以下の Hecke 体に関しては比較的効率的に計算を行うことが出来るようになった。加えて、Siegel モジュラー形式、Bianchi モジュラー形式に関する高速実装についても調査を進めた。前者については竹森氏と共同で解説記事を出版し、後者については Haluk Sengun 氏（University of Sheffield）と、来年度以降引き続いて議論を進めている。
また、前田予想の提唱者である前田芳孝氏とも直接議論を行った。本来の前田予想に関する内容はもちろんであるが、今回は Hilbert モジュラー形式に関する話題に少し取り組むこととなった。具体的には半整数重さの Hilbert モジュラー形式に関して、Hecke 体の理論や素数の分岐に関する問題を考え、考察することである。これについては来年度以降も継続して行う。
最後に、代数体上の楕円曲線に関するデータベース化を進めている。今年度は数論データベース LMFDB への提供、および代数体上至るとこと良い還元を持つ楕円曲線に関するデータベースの整備委員として加わった。来年度はより比重を大きくして進めていく予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
楕円曲線に関する研究については、本年度についてはモジュラー形式に関する研究よりもやや進捗が少ない状況である。しかし、本年度の研究活動によって、当初の予定以上にモジュラー形式（楕円モジュラー形式、および一般化モジュラー形式）に関する高速計算理論の整備とその実装に関する理解が深まったため、来年度以降はその保型性を意識しながら円滑に研究活動を進めていくことが可能となった。これにより、来年度以降は楕円曲線に関してもバランス良く研究を進めていくことが可能と考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度以降は、まず今年度進めてきたモジュラー形式の高速計算に関する研究課題のうち、Hilbert モジュラー形式と Bianchi モジュラー形式について研究を進めていきたい。前者については前田氏との従来からの研究課題遂行のため、後者については虚二次体上至る所良い還元を持つ楕円曲線の研究に極めて有益と考えられることから、Sengun 氏とコンタクトをとりつつ進めていく。なおこのような楕円曲線は、当初の研究課題の一つであった実二次体上のケースよりもあまり存在しないと考えられており、このことがモジュラー形式側の解析のヒントになると考えられている。従って、来年度以降はなるべく楕円曲線側からのアプローチを試みていき、全研究課題としてのバランスを良くとりながら進めて行きたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
2016年4月4日～8日の日程で、研究集会 "Explicit Methods in Number Theory" が、イギリス・ウォーリック大学で開催されることが判明し、来年度の科研費使用可能額との調整の結果、この出張費として今年度の残額を充てたいと考えたためである。
※ 既に出張は終了しており、非常に高い研究成果を得た。これについては来年度の報告書にて詳細を報告する。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2016年4月4日～8日の日程でイギリス・ウォーリック大学で開催される、研究集会 "Explicit Methods in Number Theory" に参加し、講演を聴講すると共に参加者との研究討議を行うため。また Haluk Sengun 氏（University of Sheffield）と Bianchi モジュラー形式に関する研究打ち合わせを行うため。
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[Presentation] SageMathCloud: a guide tour2016
Author(s)
Shunichi Yokoyama
Organizer
Open seminar on algebra, combinatorics and algorithm
Place of Presentation
Pusan National University
Year and Date
2016-01-15 – 2016-01-15
Int'l Joint Research / Invited
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