2017 Fiscal Year Research-status Report
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15K17564
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
松井 優 近畿大学, 理工学部, 准教授 (10510026)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ラドン変換 / 構成可能関数 / 定義可能関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，集合のオイラー数をその有限加法的測度とする積分論における構成可能関数や定義可能関数といった代数的な背景を持つ関数の積分変換について研究している．平成29年度は主にアフィングラスマン多様体における大域的構成可能関数の位相的ラドン変換について，単射定理および像の特徴づけを中心に研究を行った．
アフィングラスマン多様体における大域的構成可能関数の位相的ラドン変換について，平成28年度にコンパクトグラスマン多様体の場合と同じ十分条件の下で反転公式を証明した．平成29年度は，まず反転公式が得られない場合の決定，すなわちラドン変換の単射定理について平成28年度に引き続き研究した．コンパクトグラスマン多様体の場合は，報告者の方法で反転公式が得られる場合以外はラドン変換は単射でないが，アフィングラスマン多様体の場合本研究の方法で反転公式が得られる場合以外にも単射的になる場合があることが分かった．しかし，まだ完全に解明できていない点もあり，今後も研究を継続していく計画である．次にコンパクトグラスマン多様体の場合と同様に位相積分方程式によるラドン変換像の特徴づけを行った．本研究の手法で反転公式が構成できるとき，ある位相積分方程式系を満たすせば，右逆変換が存在することを証明した．コンパクトグラスマン多様体の場合は，左逆変換が右逆変換となっていたが，アフィングラスマン多様体の場合はそのようになっておらず，現時点では右逆変換の具体的な構成は得られていない．この右逆変換の具体的構成については，引き続き研究を行う計画である．
また，定義可能関数の位相的ラドン変換の性質やさまざまな応用について，具体例の考察を中心に引き続き研究を行っている．今後も情報収集や準備を行うとともに，新たな現象の発見や一般的性質の証明を行う計画である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
定義可能関数の位相的積分変換理論は技術的困難を多く含んでいて扱いが難しく，その積分変換の研究は当初の計画通りではないもののある程度進んでいる．また，アフィングラスマン多様体上の大域的構成可能関数のラドン変換についても順調に研究が進展している．当初の計画と異なるが，これまでの研究から派生した問題にも取り組み結果を得ており，引き続き研究を行っていく．位相的ラドン変換のさまざまな応用についても，例の計算を中心に考察を行っていて，順調に情報収集や準備が進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度は，平成27,28,29年度に得られた結果や知見をさらに発展させる計画である．まずは，現在研究中のアフィングラスマン多様体の構成可能関数の位相的ラドン変換の像の特徴づけと単射定理について改良を行う．これらがうまくいけば，その超局所解析的な挙動についても考察を行う計画である．グラスマン多様体の定義可能関数の位相的ラドン変換についてもまずは反転公式を得るより良い十分条件の改良に努める．また，応用の研究には，計算機及び計算ソフトウェアをうまく活用し例の計算などを効率よく行っていく．一般的な状況で結果が得られない場合には，ここで得られた具体的な状況について詳しく調べていく計画である．
研究を円滑に進めるために，特異点理論，超局所解析，積分幾何をテーマとした国内外の研究集会，セミナーに参加し，研究成果発表を行うとともに研究者とディスカッションを行ったり，国内外の研究者を招聘し研究講演会，セミナー，ディスカッションを行うなどして知見を広げ問題の解決にあたる．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた主な理由は，当初計画していた計算ソフトウェアのヴァージョンアップを行っていないためである．これは現時点では現在のヴァージョンで支障なく研究できており，当面更新の予定はない．今後必要に応じて，計算機やソフトウェアの更新を行うために研究費を使用する．また，特異点理論，超局所解析，積分幾何をテーマとする国内外の研究集会，セミナーに参加し国内外の研究者と議論を行うための旅費として研究費を活用する．国内外の研究者を招聘し研究講演会，セミナーを行ったり，専門知識の提供を受けるための謝金を含む費用としても研究費を活用していく．
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