2005 Fiscal Year Annual Research Report
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16204003
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
松本 幸夫 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (20011637)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
足利 正 東北学院大学, 工学部, 教授 (90125203)
小野 薫 北海道大学, 大学院理学研究科, 教授 (20204232)
佐伯 修 九州大学, 大学院理学研究院, 教授 (30201510)
鎌田 聖一 広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (60254380)
志摩 亜希子 東海大学, 理学部, 助教授 (50317765)
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| Keywords | 4次元多様体 / 正則ファイバー空間 / リーマン面 / モノドロミー / 符号数 / チャート理論 / 初等手術理論 |
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| Research Abstract |
4次元多様体のもつ種々の幾何構造を手がかりとしてそのトポロジーを探る,という方法を基調として研究を進めた.正則ファイバー構造を持つ4次元多様体の符号数の計算に関し,分担者の足利正により見事な発見がなされた.すなわち,足利はコンパクトリーマン面B上の正則ファイバー空間f:S→Bが与えられたとき,その最小安定還元f^^〜:S^^〜→B^^〜を考えS^^〜の符号数Sign(S^^〜)とSの符号数Sign(S)の関係を調べた.これについては既に,同変符号数定理により計算できることが知られていたが,それを,f:S→Bの特異ファイバーのまわりのモノドロミー情報により,具体的に書き下すことに成功した.証明には,Dedekind和の相互律に現れる「補正項」と松本-Montesinosの定理の証明中に現れる「分母和」との不思議な関係の発見に基づいている.分担者志摩亜希子は永瀬輝男との共同研究において,鎌田のチャートがcrossingと呼ばれる頂点を高々1個しか含まないとき,C-変形を繰り返すことによって,リボン型に変形できることを証明した.これはチャート理論における一つのブレークスルーであると思われる.研究代表者は分担者の岩瀬順一との共同研究において,4次元多様体への初等手術理論として「ポシェット」手術を開発した.これは,階数2の自由群の自己同型群の内部自己同型群による商群がGL(2,Z)に同型であるというJ.Nielsenの定理に依拠するもので,手術の係数はQU{∞}の中にとれ,もうひとつ0または1の値をとるフレーミングの情報が付け加わる.以上のほかにも,分担者による興味深いさまざまな成果があった.
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