2005 Fiscal Year Annual Research Report

楕円リー(超)代数、アフィン超リー代数およびその量子群の表現論

Research Project

Project/Area Number	16540026
Research Institution	Osaka University
Principal Investigator	山根宏之大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (10230517)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	日比孝之大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (80181113) 川中宣明大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10028219) 伊達悦朗大阪大学, 大学院情報科学研究科, 教授 (00107062) 永友清和大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (90172543) 三木敬大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (40212229)
Keywords	楕円リー代数 / 楕円リー起代数 / 楕円ルート系 / 量子群
Research Abstract	山根宏之はスーパーリー代数に付随した量子群のZ/3Z-次数付のアナロジーとして定義される量子群の一例になっているホップ代数Uの有限次元既約表現の分類を与えた。その証明はKacによる有限次元単純スーパーリー代数の有限次元既約表現の分類の証明法に沿ったものであり、U_q(sl_2(C))の表現論を駆使してUのヴァーマ加群のある特別な特異ベクトル達を見つけ出すことによってなされる。Uはスーパーリー代数osp(3\|2)に付随した量子群U_q(osp(3\|2))に非常によく似ている。UとU_q(osp(3\|2))の表現論を同時に平行して研究するのが今後の課題である。最近のHeckenbergerの精力的な研究は(qを連続パラメータ)とする量子群は通常のものとスーパーのもの以外は、あまりないかもしれない事を示唆している。Uはそのなかの数少ない一例になっている。永友清和は、点付きリーマン面の共形場理論の構成を目的とする研究を実施した。点付きリーマン面のスタックおよびそのコンパクト化した空間の上で因子化定理を備える理論を構成した。ただし,理論の出発点となるカイラル代数は有理的であるものに限る。理論の核となるのはカイラル代数の表現論であり,有理性より弱い条件の下でカイラル代数とそれに付随する有限次元代数の表現の圏の同値性が重要な役割を果たしている。この圏同値は有理的と限らないカイラル代数に対しても「良い」理論の構成が可能であることを示唆する。三木敬は、sl_n型のトロイダル量子群から生じる商代数を考え,そのMacdonaldの差分演算子との関係を調べた。また,xy=pyxをみたす2変数x,yのローラン多項式のなす(通常の交換子積を積とする)リー代数の中心拡大の普遍包絡代数のq変形を定義しその自己同形や表現を調べた。