局所体上の簡約代数群のスーパーカスピダル表現に関する研究

2007 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 16540035
• Research Institution: Osaka Prefecture University
• Principal Investigator: 高橋 哲也 Osaka Prefecture University, 総合教育研究機構, 教授 (20212011)
• Keywords: 非アルキメデス局所体 / スーパーカスピダル表現 / 指標公式 / Langlands対応

Research Abstract

非アルキメデス的局所体F上のn次一般線形群GL(n、F)の既約スーパーカスピダル表現についての研究を行った。pとp'が互いに異なる素数のときに、GL(p、F)×GL(p'、F)のε因子の公式を証明したが、この結果を用いてConverse Theoremの精密化についての考察を引き続き行った。Converse TheoremはGL(n、F)の既約admissible表現πをGL(m、F)の既約admissible表現π'に対するε(π×π'、s、φ)によって特徴づけるものであるが、従来は、m=n-2までが必要であった。目標としては、nが素数のときには、m=1だけで良いことを示すことであるが、πのコンダクターが小さいときは証明に成功している。また、n=5のときは、一般にm=1、2に対してのみε因子の一致を示すことが、表現の同値性に必要であることを示したが、m=1だけで良いことはコンダクターが小さい場合にのみ成功している。
また、Langlands progaramから示唆されるGL(m、F)×GL(n.F)からGL(mn、F)へのリフトの候補をm、nが相異なる素数のときに構成した。構成には、Lanlands対応を用いて、ガロア群の表現で考え、ガロア群でのテンサー表現をもう一度Langldands対応で引き戻すことにより構成している。ただし、現状では、1次元表現によるツイストの曖昧さが残っており、リフトの条件を満たすかどうかが検証されていない。m=2、n=3のときにリフトになっていることを満たすことを示すことは、レベルが小さい場合では成功している。