2006 Fiscal Year Annual Research Report
クンマー・アルチン・シュライアー・ヴィット理論の整備と応用の試み
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16540040
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
諏訪 紀幸 中央大学, 理工学部, 教授 (10196925)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
関口 力 中央大学, 理工学部, 教授 (70055234)
百瀬 文之 中央大学, 理工学部, 教授 (80182187)
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| Keywords | 群scheme / Kummer理論 / Artin-Schreier理論 / Kummer-Artin-Schreier理論 / twisted Kummer理論 / fppf cohomology / etale cohomology |
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| Research Abstract |
本研究は、体の巡回拡大を記述するKummer理論とArtin-Schreier-Witt理論を統合するKummer-Artin-Schreier-Witt理論の整備とその応用を目的にしているが、別方向の結果を得ている。
体Kのn次巡回拡大を記述するKummer理論ではKが1のn乗根を含んでいることを仮定するが、小松[1]や陸名[2]の研究では必ずしも1のn乗根を含んでいない体Kのn次巡回拡大を記述するKummer理論の類似が定式化されている。その結果を、group schemeのcohomology理論を援用することによって充分に一般の環の上でtwisted Kummer理論、さらにtwisted Kummer-Artin-Schreier理論として一般化することが出来た。
twisted Kummer理論ではU_<B/A>によって記されるgroup schemeが、さらにtwisted Kummer-Artin-Schreier理論ではG_<B/A>によって記されるgroup schemeがそれぞれ中心的な役割を果たすが、equivariant compactification U_<B/A>→P^1_AあるいはG_<B/A>→P^1_Aを構成することによって生成多項式の理論との関係が明確に説明できるようになった。ここの議論で半角公式が現れるが、二次拡大の正則表現B→GL(2,A)から誘導からされる群の準同型U_<B/A>→PGL(2)_AあるいはG_<B/A>→PGL(2)_Aを考えることによってequivariant compactification U_<B/A>→P^1_AあるいはG_<B/A>→P^1_Aの構成が非常に自然であることが判明した。
group scheme U_<B/A>、G_<B/A>はともに環の二次拡大B/Aに対して定義されるが、体の場合U_<B/A>、G_<B/A>の区別はなく、体の二次拡大に対して定義されるnorm torusに他ならない。環の場合、拡大に分岐がある場合、それだけgroup schemeの記述が晦渋になり、そこを克服する工夫が必要であった。詳細は[3]にまとめられ、専門誌に投稿中である。
[1] T.Komatsu - Arithmetic of Rikuna's generic cyclic polynomial and generalization of Kummer theory. Manuscripta Math 114 (2004) 265-279
[2] Y.Rikuna - On simple families of cyclic polynomials. Proc.Amer.Math.Soc. 130 (2002) 2215-2218
[3] N.Suwa - Twisted Kummer and Kummer-Artin-Schreier theories
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